排列与组合版块六排列组合问题的常见模型2教师版.docxVIP

排列组合问题的常见模型 排列组合问题的常见模型 2 典例分析 分堆问题 【例1】 6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？ ⑴ 一堆一本，一堆两本，一堆三本； ⑵ 甲得一本，乙得两本，丙得三本； ⑶ 一人得一本，一人得二本，一人得三本； ⑷ 平均分给甲、乙、丙三人； ⑸ 平均分成三堆． 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】⑴ 先在6 本书中任取一本．作为一本一堆，有C1 种取法， 6 再从余下的五本书中任取两本，作为两本一堆，有C2 种取法，再后从余下三本取 5 三作作为一堆，有C3 种取法，故共有分法C1 C2C3 ? 60 种． 3 6 5 3 ⑵ 由⑴知，分成三堆的方法有C1 C2C3 种，而每种分组方法仅对应一种分配方法， 6 5 3 故甲得一本，乙得二本，丙得三本的分法亦为C1 C2C3 ? 60 种． 6 5 3 ⑶ 由⑴知，分成三堆的方法有C1 C2C3 ，但每一种分组方法又有 A3 不同的分配方 6 5 3 3 案，故一人得一本，一人得两本，一人得三本的分法有C1 C2C3 A3 ? 360 （种） 6 5 3 3 ⑷ 3 个人一个一个地来取书，甲从6 本不同的书本中任取出2 本的方法有C2 种， 6 甲不论用哪一种方法取得 2 本书后，已再从余下的 4 本书中取书有 C2 种方法，而 4 甲、乙不论用哪一种方法各取 2 本书后，丙从余下的两本中取两本书，有 C2 种方 2 法，所以一共有C2C2C2 ? 90 种方法． 6 4 2 ⑸ 把6 本不同的书分成三堆，每堆二本和把六本不同的书分给甲、乙、丙三人， 每人二本的区别在于，后者相当于把六本不同的书，平均分成三堆后，再把每次分 得的三堆书分给甲、乙、丙三个人．因此，设把六本不同的书，平均分成三堆的方 法有x 种，那么把六本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2 本的分法就应x ? A3 种， 3 由⑷知，把六本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2 本的方法有C2C2C2 种． 6 4 2 C2C2C2 所以 xA3 ? C2C2C2 ，则 x ? 6 4 2 ? 15 （种） 3 6 4 2 A3 3 点评：本问题的每一个小题都提出了一种类型问题，搞清类型的归属对今后解题大有补益，其中⑴属非均匀分组问题．⑵属非均匀定向分配问题．⑶属非均匀不定向分配问题．⑷属均匀不定向分配问题．⑸属均匀分组问题． 一般地， n 个元素中有n 1 个元素（ n 1 ≤ n ）均分成m 堆一定要除以A m ． m 例如：有17 个桃，分成8 堆，其中一堆一个，一堆4 个，另外6 堆每堆都是2 个， 有多少种不同的分法 C1 C4 C2 C2 C2C2C2C2 一共有 17 16 12 10 8 A6 6 6 4 2 种不同分法． 【例2】 有 6 本不同的书 ⑴甲、乙、丙 3 人每人 2 本，有多少种不同的分法？ ⑵分成 3 堆，每堆 2 本，有多少种不同的分堆方法？ ⑶分成 3 堆，一堆 1 本，一堆 2 本，一堆 3 本，有多少种不同的分堆方法？ ⑷分给甲、乙、丙 3 人，一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本，有多少不同的分配方法？ ⑸分给甲 1 本、乙 1 本、丙 4 本，有多少种不同的分配方法？ ⑹分成 3 堆，有 2 堆各一本，另一堆 4 本，有多少种不同的分堆方法？ ⑺摆在 3 层书架上，每层 2 本，有多少种不同的摆法？ 【考点】排列组合问题的常见模型 【难度】2 星 【题型】解答 【关键字】无 【解析】略 【答案】⑴在 6 本书中，先取 2 本给甲，再从剩下的 4 本书中取 2 本给乙， 最后 2 本给丙， 共有C2 ? C2 ? C2 ? 90 （种）．这是均匀编号分组问题 6 4 2 C2 ? C2 ⑵6 本书平均分成 3 堆，用⑴中方法重复了Α 3 倍，故共有 3 是 均匀分组问题． 6 4 ? 15（种）．这 Α 3 3 ⑶从 6 本书中，先取1 本做 1 堆，再在剩下的5 本中取 2 本做一堆，最后3 本做一 堆，共有C1 ? C2 ? C3 ? 60 （种）． 这是非均匀分组问题 6 5 3 ⑷在⑶的分堆中，甲、乙、丙3 人任取一堆，故共有C1 ? C2 ? C3 ?Α 3 ? 360（种）． 6 5 3 3 这是非均匀编号分组问题． ⑸甲先取 1 本，乙在剩下的取 1 本，余下 4 本给丙，故共有C1 C1  ? 30（种）． 这 6 5 是部分均匀编号分组问题． ⑹平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有 C1 ? C1 6 5 ? 15 （种）． 这是部分均匀分组问题． ⑺本题即为 6 本书放在 6 个位置上，共有Α 6 6 Α