排列组合公式及恒等式推导、证明.docxVIP

实用标准文案 实用标准文案 精彩文档 精彩文档 排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版） 说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是 pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此 word 版的，记得下载 MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。 一、排列数公式： n(n n(n 1)(n 2) (n m 1) n! (n m)! n n (n 1)( n (n 1)(n 1) 3 2 1 推导：把 n 个不同的元素任选m 个排次序或n 个全排序，按计数原理分步进行： 第一步，排第一位： 有 n 种选法； 第二步，排第二位： 有（n-1） 种选法； 第三步，排第三位： 有（n-2） 种选法； ┋ 第m 步，排第m 位： 有（n-m+1）种选法； ┋ 最后一步，排最后一位：有 1 种选法。根据分步乘法原理，得出上述公式。 二、组合数公式： AmA Am Am m n(n 1)(n 2) (n m! m n 1) n! m!(n m)! n 1C n n 1 推导：把 n 个不同的元素任选m 个不排序，按计数原理分步进行： 第一步，取第一个： 有 n 种取法； 第二步，取第二个： 有（n-1） 种取法； 第三步，取第三个： 有（n-2） 种取法； ┋ 第m 步，取第m 个： 有（n-m+1）种取法； ┋ 最后一步，取最后一个：有 1 种取法。 上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选m 个，就有m!种排排法，选n 个就有n!种排法。故取m 个的取法应当除以m!,取n 个的取法应当除以n!。遂得出上述公式。 证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。将部分排列问题A m 分解为两个步骤： n 第一步，就是从n 个球中抽m 个出来，先不排序，此即定义的组 合数问题C m ； n 第二步，则是把这m 个被抽出来的球全部排序，即全排列A m 。 m C m A mn m根据乘法原理， C m A m n m n AmA Am Am n n(n 1)(n 2) (n m 1) n! m! m!(n m)! n m 组合公式也适用于全组合的情况，即求 C(n, n)的问题。根据上述公式， C(n, n) = n!/n!(n-n)! = n! / n!0! = 1。 这一结果是完全合理的，因为从 n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有 1 种方法。 三、重复组合数公式： 重复组合定义:从n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续m 次所得的组合。 重复组合数公式： R m C m （m 可小于、大于、等于n,n≥1） n n m 1 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”：n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的 推导：可以把该过程看作是一个“放球模型”： n 个不同的元素看作是n 个格子，其间一共有（n-1）块相同的 隔板，用 m 个相同的小球代表取 m 次；则原问题可以简化为将 m 个不加区别的小球放进 n 个格子里面，问有多少种放法；这相当 于 m 个相同的小球和（n-1）块相同的隔板先进行全排列：一共有 （m+n-1）！种排法，再由于 m 个小球和（n-1）块隔板是分别不 加以区分的，所以除以重复的情况：m！*（n-1）！ 于是答案就是： 于是答案就是： R m n (m n 1)! m !(n 1)! C m n m 1 四、不全相异的全排列 在不全相异的n 个物体中，假设有n 1 个物体是相同的，n 个五 2 题是相同的，……，n k 个物体是相同的。n 个物体中不相同的物体种 类数一共有k 种。那么，这些物体的全排列数是n!/(n !n !…n !)。 1 2 k 可以想成：n 个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一 种物体有n !种，第二种物体有n 1 !种，以此类推。 2 例：有3 个红球，2 个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。 答：一共有 10 种， aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bba aa。 五、排列恒等式的证明： ① A m ( n m n 1) A m 1 n 证明：右边= ( n m 1) ( n n ! m 1)! n ! A m ( n m )! n 左边=右边 nm n m A m n 1 ② A m n n( n1) n ( n 1) n m ( n m 1)! ( n n ! m )! A m n ： ③左边=右边 ③ nAm 1n nA m 1 n 1 (