排列与组合版块五排列组合问题的常见模型1教师版 普通高中数学复习讲义.docxVIP

排列组合问题的常见模型 排列组合问题的常见模型 1 基本计数原理 知识内容 ⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1  种不同的方法，在第 二类办法中有m 2 种方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N ? m ? m 1 2 ? m n 种不同的方法．又称加法原理． ⑵乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有m 1  种不同的方法， 做第二个步骤有m 2 种不同方法，……，做第n 个步骤有m n 种不同的方法．那么完成这件事 共有 N ? m ? m 1 2 ? m n 种不同的方法．又称乘法原理． ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用． 排列与组合 ⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取m(m ≤ n) 个元素，按照一定的顺序排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n 个不同的元素中取出m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同 元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m 表示． n 排列数公式： Am n ? n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) ， m，n ? N ?，并且m ≤ n ． 全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1 到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用n!表示．规定： 0! ? 1 ． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从n 个 元素中任取m 个元素的一个组合． 组合数：从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号Cm 表示． n 组合数公式： Cm ? n(n ?1)(n ? 2) (n ? m ? 1) ? n! ， m, n ? N ，并且m ≤ n ． n m! m!(n ? m)! ? 组合数的两个性质：性质 1： Cm n ? Cn?m ；性质 2： Cm n n?1 ? Cm n Cm?1 ．（规定C0 n n ? 1） ⑶排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1．特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏． 3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． 5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空． 插板法： n 个相同元素，分成 m(m ≤ n) 组，每组至少一个的分组问题——把n 个元 素排成一排，从n ?1个空中选m ?1 个空，各插一个隔板，有C m?1 ． n?1 分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！ 8．错位法：编号为 1 至n 的n 个小球放入编号为 1 到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当n ? 2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44．关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题． 排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求