空间立体几何讲义.docxVIP

一、基本概念 一、基本概念 空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为| AB , a 特别地： ①规定长度为 0 的向量为零向量，记作 0 ； ②模为 1 的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如 a 的相反向量记为- a . 5.共线与共面向量（1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 a ∕b 5.共线与共面向量 （1）共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫 做共线向量或平行向量，记作 a ∕b∕. 共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量． 定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量 a、b(b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数? ，使得 a ? ?b. 共面向量定理：如果两个向量 a、b 不共线，则向量 p 与向量 a、b 共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x，y), 使得 p ? xa ? yb. 6．注意： 7．①零向量的方向是任意的，规定 0 与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为 1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 二、空间向量的运算 1、加减法 （1）空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． 交换律： 结合律： （3）推广 *首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： *首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 ①当 ①当 λ＞0 时，λ a 与 a 的方向相同； ②当 λ＜0 时，λ a 与 a 的方向相反； ③当 λ=0 时，λ a = 0 ． 2.空间向量的数乘运算 （ （1）实数 λ 与空间向量 a 的乘积 λ a 仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ④|λ a |=|λ| ④|λ a |=|λ| ? a ，λ a 的长度是 a 的长度的|λ|倍． （2）运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律 分配律： ?(a ? b) ? ?a ? ?b (? ? ?)a ? ?a ? ?b 结合律： ?(?a) ? (??)a 3．空间向量的数量积和坐标运算坐标运算 三．直线的方向向量 1、直线的方向向量： e 以及与 e 共2、 空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一个定点 A 以及一个定方向确定． 直线 e 以及与 e 共 线的向量叫做直线 l 的方向向量． 注意：①一条直线 l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行．② 线的向量叫做直线 l 的方向向量． 注意： ①一条直线 l 有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l 的方向向量也是所有与 l 平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l 上的任意两点的坐标写出直线 l 的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”．如 果表示向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面，记作 n ⊥α，如果 n ⊥α，那么向量 n 叫做平面 α 的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面 α 有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量 n 是平面的法向量，向量 m 是与平面平行或在平面内，则有 n ? m ? 0 . ④一个平面 α 的法向量也是所有与平面 α 平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为 n = (u,v, w) ； （2）列：根据 a ? n ? 0,b ? n ? 0, 列出方程组； （3）解：把 u（或 v 或 w）看作常数，用 u（或 v 或 w）表示另外两个量 ； （4）取：取 u 为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量 n 的坐标． 法向量 =（x，y 法向量 =（x，y，z），则 x：y：z=（ ） A． =（1，0，0）， =（﹣2，0，0） B． =（1，3，5）， =（1，0，1） C． =（0，2，1）， =（﹣1，0，﹣1） D． =（1，﹣1，3）， =（0，3，