空间几何体板块二截面与距离问题教师版 普通高中数学复习讲义.docxVIP

板块二 板块二.截面与距离问题 典例分析 棱锥、棱台的中截面与轴截面 【例1】 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，求k 的取值范围． 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】如图所示，设正四棱锥 V ? ABCD 底面中心为 O ，令 BC ? a ，则 VB ? ka ，而 2OB ? 2 2 a ，在Rt?VOB 中， DO D O C 2A B 2 222a 2 2 2 cos ?VBO ? 2 ? ，∵ ?VBO ?? π? ，∴ 0 ? ? 1 ，1 ? 2k ? ?? ，∴ k ? ka 2k ? 0， ? 2k 2 22?∴ k 的取值范围是? ，? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ?【答案】? ? ? ? 22 2 2 ，? ? ? ? ? 5【例2】 正四棱锥的斜高为2 ，侧棱长为 5 ，求棱锥的高与中截面（即过高线的中点且平 行于底面的截面）的面积？ 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 5【解析】四棱锥的简图如右所示，由题意知SH ? 2, SB ? ， 5 S B O H A 故 BH ? ? 1 ? 1 AB ? AB ? 2 ， OH ? 1 AB ? 1 ， 5 ? 5 ? 4 SH 2 ? SH 2 ? OH 2 底面面积 S 底面 ? ? ， 4 ? 13? AB2 4 ? 1 3 【答案】 S ∶S 中截面 底面 3，1 3 ? 12∶22 ? 1∶4 ? S 中截面 ? 1 ． 【例3】 正四棱台的高为17 ，两底面的边长分别是4 和16 ，求这个棱台的侧棱长和斜高． 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】如图，过 B 点作 BF ? O?B? ，垂足为 F ， AO A O B O E F B (8 ? 2)2 ?172由题意知： AB ? OB ? 2 ， A?B? ? O?B ? ? 8 ， (8 ? 2)2 ?172 在直角三角形 BB?F 中， BB? ? ? 5 13 ， 13即斜高长为5 ； 13 22?82 ? 2 2 ?2 ? 17 2 2 ?8 2 ? 2 2 ?2 ? 172 在直角三角形 AA?E 中， AA? ? ? 19 ， 即此棱台的侧棱长为19 ． 【答案】 【例4】 已知正六棱台的上，下底面的边长和侧棱长分别为a ， b ， c ，则它的高和斜高分 别为 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】无 ?b ?b ? a?2 c2 ? 2 1 2 4c ? b ? a 2 ? ?2 124c 1 2 4c ? b ? a 2 ? ?2 ?b ? a?2 c2 ? 2 【例5】 已知正三棱锥S ? ABC 的高 SO ? h ，斜高 SM ? l ，求经过 SO 的中点且平行于底面 的截面?A B C 的面积． 1 1 1 S A1C A 1 C 1 B 1 M O B 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 l 2 ? h233【解析】在Rt?SOM 中， SO ? h ， SM ? l ，所以 l 2 ? h2 3 3 又O 为正三角形的中心，故MO ? 1 ? AB ? AB ， 故棱长 AB ? 2 3 ? 3 2 6 l2 ? h2? 2 3?l 2 ? l2 ? h2 ∴ S ? ?ABC AB2 ? 3 3 ?l2 ? h2 ?， 34 3 ?A B C 与?ABC 相似，且边长比为1∶2 ，故截面?A B C 的面积为 3 3 ?l2 ? h2 ?． 1 1 1 1 1 1 4 【答案】 3 3 ?l2 ? h2 ? 74 7 3【例6】 如图所示的正四棱锥V ? ABCD ，它的高VO ? 3 ⑴ 求侧面上的斜高与底面面积． ，侧棱长为 ， ⑵ O 是高VO 的中点，求过O 点且与底面平行的截面（即中截面）的面积． OD O D O H C A B 【考点】截面与距离问题 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】无 【解析】⑴ 由题意知VO ?  3722，VC ? ， 3 7 2 2 7 ? 7 ? 3 ? 2 ? 2 BC ? BC ? 2 ． VC 2 ? CH 27 ? 25斜高 VC 2 ? CH 2 7 ? 2 5 底面面积 S ? BC2 ? 8 ； S ⑵ 由棱柱的截面性质知： 中截面  ? ? VO? ?2 ? 1 ? S ? 1 ? 8 ? 2 ． ? ?【答案】⑴ ? ?  ， 8 ；⑵ 2 ． S ? VO ? 4 5底面 5 中截面 4 【例7】