人教版初二数学上册角平分线和全等三角形的应用.docxVIP

第三讲 角平分线和全等三角形的应用 【知识回顾】角平分线 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 角平分线的判定： 到一个叫两边的距离相等的点在这个角的平分线上。角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 【例题精讲】 例 1.如图 1，在△ ABC 中，?C ? 90 ， AD 平分?CAB ， BC ? 8cm，BD ? 5cm ，求D 点到直线 AB 的距离。 A C D B 图 1 例 2．如图 2，已知在Rt△ABC 中，∠C=90°, BD 平分∠ABC, 交 AC 于 D. 若∠BAC=30°, 则 AD 与 BD 之间有何数量关系，说明你的理由; P若 AP 平分∠BAC，交 BD 于 P, 求∠BPA 的度数. A P D B C 图 2 例 3.已知：如图 3，△ABC 中，D 是 BC 的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD， AD=AD），但无法证明△ABD ≌ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。 1 图 3 【课堂随练】 1、如图 4，在△ABC 中，D 是 BC 的中点, DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF. A EF E F B D C 图 4 2、如图 5，已知∠C=90°，∠1=∠2，若 BC=8，BD=5，求 D 到 AB 的距离。 D2 D 2 1 B A 图 5 3、如图 6，在△ABC 中，∠ABC=2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D。求证：AB+BD=AC。 A B D C 图 6 4、如图 7，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，DB=DC， 求证：EB=FC 图 7 5、如图 8，△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，E、F 分别为 AB、AC 上的点，且∠EDF+ ∠BAF=180°。求证：DE=DF。 A EFB D E F 图 8 2 【知识回顾】常见的全等三角形的基本类型 平移全等型（如图）； 对称全等型（如图）； 旋转全等型（如图）． 找对应元素的常用方法: a．全等三角形对应相等的角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． b．全等三角形对应相等的边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应 角．c．两个全等三角形有公共边的，公共边一定是对应边． d．两个全等三角形有公共角的，公共角一定是对应角． e．两个全等三角形有对顶角的，对顶角一定是对应角． f．两个全等三角形中一对最长的边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角） 3 【例题精讲】 例 4、如图 9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AE 是 BC 边上的中线，过C 作 CF ⊥AE.垂足为 F，过 B 作 BD⊥BC 交 CF 的延长线于 D.求证：AE=CD. 解析：AE 和 CD 分别是△ACE 和△CBD 的边，如果能证明△ACE≌△CBD.就能证明 AE=CD，由已知条件可以证明△ACE≌△CBD. 图 9 例 5、如图 10，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，AB=CD，BC=DE，求证；AC⊥CE. 图 10 例 6.如图 11，已知 A，F，C，D 四点在一直线上，AF=CD，AB//DE，且 AB=DE. 求证：（1）△ABC≌△DEF； ∠CBF=∠FEC. 图 11 4 例 7 如图 12，△DAC, △EBC 均是等边三角形，AE,BD 分别与 CD,CE 交于点 M,N.求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三角形（4）MN∥BC DM D M N A C B 图 12 【课堂随练】 1、下列结论错误的是（ ） A．两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等B．三边分别对应相等的两个三角形全等 C．两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等D．边长相等的等边三角形全等 2、如图，AD⊥BC 于 D，BD=DC，E 在 AD 上，则图中全等三角形共（ ） 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 3、下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A′B′C′全等的是（ ） A．AC=A′C′，BC= B′C′，∠C=∠C′．B．∠A=∠A′，BC= B′C′，AC= A′C′ C．∠A=∠A′，∠C=∠C′，BC= B′C′．D. AB= A′C′，BC= C′B′，AC= A′B 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于 E，若 AB=8cm，则