人教版八年级数学全等三角形和轴对称辅助线的添加.docxVIP

【技巧】巧添辅助线：为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线，称之为辅助线.辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，进而引刃而解.目前为止，添加辅助线有以下几类：（供参考） 1）“连接法”——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”，依据是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段，会给我们带来两个“ 惊喜”——Rt∠和距离相等，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合 于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． ACO※ 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．【导学 A C O 连接法——看似山重水复疑无路，却也柳暗花明又一村 【例 1】如图，已知∠A=∠C=Rt∠，且 AB=CD，试证明AD=BC. D B A 【练习】已知，如图AB=AC，且∠ABD=∠ACD.试证明BD=CD. B C 等腰三角形中，可作底边上的高. 【例 2】如图，已知 D、E 两点在线段BC 上，AB＝AC，AD＝AE，试说明 BD=CE A 的理由. D 倍长中线 B D E C 【例 3】已知△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是 . 【练习】如图，△ABC 中，BD=DC=AC，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. A B D E C 角平分线上的点向角两边引垂线段 AD A D B C DA D 【练习】如图 4，在△ABC 中，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证 AD 平分∠BAC. 截长补短 B C A【例 5】如图， ?ABC 中，AB=2AC，AD 平分?BAC ，且 AD=BD， A 求证：CD⊥AC C B D 【练习】如图，已知△ABC 为等边三角形，其边长为k，△DBC 为等腰三角形，BD=CD 且 ∠BDC=120°过点D 作∠PDQ=60°，DP、DQ 分别交AB、AC 于点M、N，记C  PQMN P Q M N 为 x ， C □ ABC 为 y . A 如图 1，特别地，当BM=CN 时，易证BM+CN=MN.此时： x ? C ? AM ? AN ? MN ? AM ? AN ? (BM ? BN ) □ AMN ? ( AM ? BM ) ? ( AN ? CN ) ? AB ? AC ? 2k y ? C ? AB ? AC ? BC ? 3k ,于是 x ? 2k ? . 2□ ABC 2 y 3k 3 B C 如图 2，当∠PDQ 绕点 D 旋转，使得 DP、DQ 交线段 AB、AC 于点 M、N 时，（1）中的结论还成立吗？请说明. D 【分析】当∠PDQ 从（1）中的特殊位置旋转至一般的情况时，通 图 1 过“截长补短”我们可在图形左边补出一个与△NCD 全等的三角形. PAMQN P A M Q N B C 2 1 为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°; 又 BD=CD 且∠BDC=120°，从而∠DBC=∠DCB=30°, 于是∠ABD=∠ACD=Rt∠，所以∠DBE=∠DCN=Rt∠; ?BD ? CN ?在△DBE 和△DCN 中， ??DBE ? DCN ,于是△DBE≌△DCN， ? ??BE ? CN ? 所以∠1=∠2，DE=CN;又∠BDC=120°, 所以∠EDN=∠1+∠BDN=∠2+∠BDN=∠BDC=120°, E 又∠PDQ=60°,所以∠EDM=∠NDM=60°; D 图 2 ?ED ? ND ?在△EDM 和△NDM 中，??EDM ? ?NDM ,所以△EDM≌△NDM，所以 MN=ME;而ME=BM+BE 且 ? ??DM ? DM ? CN=BE,所以ME=BM+CN,即MN=BM+CN;所以 x ? C □ AMN ? AM ? AN ? MN ? AM ? AN ? (BM ? BN ) ? ( AM ? BM ) ? ( AN ? CN ) ? AB ? AC ? 2k y ? C ? AB ? AC ? BC ? 3k ,于是 x ? 2k ? .故（1）中的结论仍然成立. 2□ ABC 2 y 3k 3 如图 3，当∠PDQ 绕点D 旋转，使得DP、D