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PAGE PAGE 10 八年级数学竞赛辅导材料（上） 17、奇数 偶数 18、式的整除 19、因式分解 20、代数恒等式的证明 21、比较大小 22、分式 23、递推公式 24、连续正整数的性质 25、十进制的记数 26、法选择题解法（一） 27、识图 28、三角形的边角性质 初中数学竞赛辅导资料（17） 奇数 偶数 一、内容提要 奇数和偶数是在整数集合里定义的，能被 2 整除的整数是偶数，如 2，0－2?，不能被 2 整除的整数是奇数，如－1，1，3。 如果 n 是整数，那么 2n 是偶数，2n－1 或 2n+1 是奇数。如果 n 是正整数，那么 2n 是正偶数，2n-1 是正奇数。 奇数集偶数集 奇数集偶数集 ì? 奇数 整数í?? 偶数 或 整数集合 这就是说，在整数集合中是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它 就不是整数。 奇数偶数的运算性质： 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数±偶数＝偶数奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数， 两个連续整数的和是奇数，积是偶数。二、例题 例1 求证：任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数证明：设 k 为整数，那么 2k－1 是任意奇数， （2k－1）2－1＝4k2－4k＋1－1＝4k(k－1) ∵k(k－1)是两个連续整数的积，必是偶数 ∴4k(k－1)是 8 的倍数即任意奇数的平方减去 1 是 8 的倍数 例2 已知：有 n 个整数它们的积等于 n，和等于 0 求证：n 是 4 的倍数 证明：设 n 个整数为 x ,x  ,x ,?x  根据题意得 ?ì x x x x ??í 1 2 3 n ? ? = n① 1 2 3 n ? x + x + x + ? + x = 0② ? 1 2 3 n 如果 n 为正奇数，由方程（1）可知 x ,x ,x ,?x 都只能是奇数，而奇数个奇数的和必是奇数，这不适 1 2 3 n 合方程（2）右边的 0，所以 n 一定是偶数； 当 n 为正偶数时，方程（1）左边的x ,x ,x ,?x 中，至少有一个是偶数，而要满足方程（2）右边的 0， 1 2 3 n 左边的奇数必湏是偶数个，偶数至少有 2 个。 所以 n 是 4 的倍数。例 3 己知：a,b,c 都是奇数 求证：方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 证明：设方程的有整数解 x，若它是奇数，这时方程左边的 ax2，bx，c 都是奇数，而右边 0 是偶数， 故不能成立； 若方程的整数解 x 是偶数，那么 ax2,bx,都是偶数，c 是奇数，所以左边仍然是奇数，不可能等于0。既然方程的解不可能是奇数，也不能是偶数， ∴方程 ax2+bx+c=0 没有整数解 (以上的证明方法是反证法) 例 4 求方程 x2－y2＝60 的正整数解解：(x+y)(x－y)=60， 60 可分解为：1×60，2×30，3×20，4×15，5×12，6×10 左边两个因式(x+y)，(x－y)至少有一个是偶数 因此 x, y 必湏是同奇数或同偶数，且 xy0,适合条件的只有两组 ???x ? y ? 30 ?x ? y ? 10 ? ? ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 6 ??x ? 16 ?x ? 8 ? ?解得? ? ? y 14 ? y ? 2  ?x ? 16  ??x ? 8 ? ∴方程 x2－y2＝60 的正整数解是? ? y ? 14 ? y ? 2 三、练习 17 选择题 ①设 n 是正整数，那么 n2+n-1 的值是（ ） （A）偶数（B）奇数（C）可能是奇数也可能是偶数 ②求方程 85x－324y=101 的整数解，下列哪一个解是错误的？（ ） ?x ? 5 ?（A） ? ? ? y 1 填空： ?x ? 329 ?? ? ? y 86 ?x ? 653 ?? ? ? y 171 ?x ? 978 ?? ? ? y 256 ①能被 3，5，7 都整除的最小正偶数是＿＿＿ ②能被 9 和 15 整除的最小正奇数是＿＿最大的三位数是＿＿ ③1＋2＋3＋?＋2001＋2002 的和是奇数或偶数？答＿＿ ④正整数 1234是奇位数或偶位数？答＿＿ ⑤ 1?0?0????01能被 11 整除，那么 n 是正奇数或正偶数？答＿＿ n位 任意三个整数中，必有两个的和是偶数，这是为什么？ 试说明方程 2x+10y=77 没有整数解的理由 求证：两个連续奇数的平方差能被 8 整除 试证明：任意两个奇数的平方和的一半是奇数7． 求方程（2x－y－2）2＋（x+y+2）2=5 的整数解8． 方程 19x+78y=8637 的解是( ) ?x ? 7