线性代数与空间解析几何教学课件电子教案全套课件.pptx

线性代数 与 空间解析几何; 线性代数与空间解析几何是我校工科各专业必修的重要基础理论课，是工科数学教学三门主要课程之一，在一般工科专业的教学中占有极重要的地位，在工程技术、科学研究和各行各业中有广泛的应用. ; 线性代数内容包括：行列式、矩阵、向量 代数、线性方程组、特征值与特征向量、二次 型、线性空间与线性变换等． 解析几何的内容包括：几何向量、空间中的平面与直线、二次曲面.;1.1 n阶行列式 1.1.1 二阶、三阶行列式 n阶行列式的概念来源于对线性方程组的研究： 设二元线性方程组 （1）;; 称为这个二阶行列式的元素， 的 两个下角标 分别表示所在的行和列的序号， 常称 是行列式的（ ）元素．;(1)的解（2）可写成; 为了得出关于三元线性方程组 ;;例如;为了研究n元线性方程组我们把二阶和三阶行列式 加以推广，引入n阶行列式． 　　　 1.1.2 全排列的逆序数、对换 为了给出n阶行列式的定义，首先介绍全排列 的“逆序数”与全排列的“对换”． 定义: 把n个不同的元素排成一列，叫做这n个 元素的全排列，或n阶排列（简称排列）．n个不同 元素的排列共有 种; 例如:自然数1，2，3的排列共有六种： 123，132，213，231，312，321． 为了方便起见，今后把自然数 视为n个不同的元素的代表。用 表示这n个不同的元素中的一个 ，且 时 于是 便是 的一个排列．; 逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列； ;;为n阶行列式，其中;;n阶行列式的等价定义：;1.2 n 阶行列式的性质; ;推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则该行列式为零，即;性质3 把行列式的某一行（列）的所有元素同乘 以数c，等于用数c乘以这个行列式，即;; ;例７ 计算行列式;;解 由性质4;; 下面讨论将n阶行列式转化为n-1阶行列式计算 的问题，即：; ;定理1.3 n阶行列式 等于它的任意一行（列） 的所有元素与其对应的代数余子??的乘积之和，即;;例1０ ;解　将各列都加到第一列后再提出公因子得;例1２ 已知;例13 已知;例14 不计算行列式值，利用性质证明;因此有;所求根为 x = 2 和 x = -4.;例16 计算行列式的值; 总结n阶行列式的计算 n阶行列式的计算主要有如下几种方法： 1 定义法 — 利用n阶行列式的定义计算; 2 三角形法—利用性质1—性质5化为三角形行列式来计算； 3 展开法—利用行列式的按行（列）展开性质6对行列式进行降阶计算； 4 综合法—利用性质1—性质5先使D的某行（列）有尽可能多的零，再用性质6对行列式进;行降阶计算; 5 加边法; 6 递推公式法； 7 归纳法。 ;所求根为 x=2 和 x=-4。;例20 计算n+1阶行列式;例21 设 n阶三对角行列式;证明 :递推关系式 ;解 由上例有;例23 证明n阶行列式;假设结论对n-1阶行列式成立，即;;假设结论对n-1阶行列式成立，即; . ; 定义：在D中,划去k阶子式N所在的k行k 列,剩余 元素按原行列式D中的相对位置排成的n -k阶行列 式M称为k阶子式N 的余子式.;是N的余子式;;解 对D的第1,3 行用Laplace定理,在第1,3 行中不为零的二阶子式分别是 ;;解 对的第n, n+1行应用Laplace定理（按第n, n+1 行展开）得;;例27 计算行列式;例28 计算行列式;; ;（线性运算）;定义;。若A、B可逆，则A+B不一定可逆，;;如果矩阵A经过有限次初等变换变成B称矩阵A与B等价;注 ;2.5.2 矩阵秩的概念与求法;第三章 几何向量;3.1 几何向量及其线性运算;1．向量：有大小，又有方向的量称为向量. 用有向线段 表示向量，长度 表示向量的大小，用简头表示方向，称这样的向量为几何向量（简称向量），记 或;6．自由向量：（与起点无关）可以平行移动，（1）方向相同；（2）大小相等（模相等），我们研究的都是自由向量. 所以任意两向