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高中数学直线与圆、圆与圆的位置关 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、学习要点： 1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定. 2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形. 3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用. 4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用. 二、例题分析： 1．设直线过点，其斜率为1, 且与圆相切,则的值为________ 2.若直线始终平分圆的周长,则 9．已知圆： （1）求圆心的坐标及半径的大小； （2）若不过原点的直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，求直线的方程； （3）从圆外一点向圆引一条切线，切点为，为坐标原点，且，求点的轨迹方程。 10．已知直线与圆交于两点，为坐标原点，求的值。 11．已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求 （1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值. 12 在平面直角坐标系中，已知圆和圆. （1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与 圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试 求所有满足条件的点P的坐标。 （四）直线与圆、圆与圆的位置关系参考答案 三、例题分析： 二、填空题： 11． 1_ . 12． (0, ) . 13．__0__14． k＝ 11．解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1 12．解：由题意知，圆心(-5,0) 到直线 l:3x+y+5=0 的距离 d 必须大于圆的半径 ．因为d＝，所以0＜r＜．从而应填(0, )． 13．解析：设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0． 14． (数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线,所以 三、解答题： 15．解：（1）直线AB的方程是：，则圆心到直线的距离是 由勾股定理 （2）当弦AB被点P平分时，有，则 由直线方程的点斜式，可得直线AB的方程为： 16．解：（1）圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径 （2）依题意，可设直线的方程为，则由， 得或，即直线的方程为或 （3）因为与圆相切，切点为，则有，又 故，即 化简得：，这就是点的轨迹方程 17．解：设，由 得，则 故，即 18【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离， 结合点到直线距离公式，得： 化简得： 求直线的方程为：或，即或 (2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为： ，即： 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。 故有：， 化简得： 关于的方程有无穷多解，有： 解之得：点P坐标为或。 19．解：（1）方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆. 设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=－. （也可由平面几何知识，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，直线OP′的倾斜角为120°解之） （2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得 =，即b=－2±， 故（y－x）min=－2－. （3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+， （x2+y2）min=｜OB｜=2－.