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高中数学--直线与圆的综合应用 9.5 直线与圆的综合应用 一、填空题 1.若圆的圆心到直线x-y+a=0的距离为则a的值为________． 解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得化简得|a-1|=1,解得a=0或a=2. 2．直线y＝eq \f(\r(3),3)x绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系是________． 解析　由题意可得旋转30°后所得直线方程为y＝eq \r(3)x，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案　相切 3．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围为________． 解析　由圆心(3，－5)到直线的距离d＝eq \f(|12＋15－2|,5)＝5，可得4＜r＜6. 答案　(4,6) 答案2或0 4．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且AB＝eq \r(3)，则eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝________. 解析　由题可知∠AOB＝120°，所以eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|·|eq \o(OB,\s\up6(→))|·cos 120°＝－eq \f(1,2). 答案　－eq \f(1,2) 5．已知x，y满足x2＋y2－4x－6y＋12＝0，则x2＋y2最小值为________． 解析　法一　点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2＋y2最小值为(eq \r(13)－1)2＝14－2eq \r(13). 法二　设圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2＋cos α，,y＝3＋sin α))则x2＋y2＝14＋4cos α＋6sin 解析　圆心为(－1,1)，它到直线3x＋4y＋14＝0的距离d＝eq \f(|－3＋4＋14|,5)＝3. 答案　3 10．如果圆C：(x＋a)2＋(y－a)2＝18上总存在两个点到原点的距离为eq \r(2)，则实数a的取值范围是________． 解析　由题意，圆C上总存在两个点到原点的距离eq \r(2)，即圆C与以O为圆心，半径为eq \r(2)的圆总有两个交点，即两圆相交， 所以有|3eq \r(2)－eq \r(2)|＜|CO|＜3eq \r(2)＋eq \r(2)，即2eq \r(2)＜eq \r(2)|a|＜4eq \r(2)， 解得－4＜a＜－2或2＜a＜4. 答案　(－4，－2)∪(2,4) 11．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有公共点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为________． 解析　由题意可知，圆心O到直线mx＋ny＝4的距离大于半径，即得m2＋n24，所以点(m，n)在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m，n)在椭圆内，因此过点(m，n)的直线与椭圆必有2个交点． 答案　2 12．若过点A(0，－1)的直线l与曲线x2＋(y－3)2＝12有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________． 解析　该直线l的方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则由题意， 得d＝eq \f(4,\r(k2＋1))≤2eq \r(3)，即k2≥eq \f(1,3)，解得k≤－eq \f(\r(3),3)或k≥eq \f(\r(3),3). 答案　eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞)) 13．直线l：ax－by＋8＝0与圆C：x2＋y2＋ax－by＋4＝0(a，b为非零实数)的位置关系是________． 解析　圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(b,2)))2＝eq \f(a2＋b2,4)－4，且eq \f(a2＋b2,4)－4＞0， 即a2＋b2＞16，圆心Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(b,2)))到直线ax－by＋8＝0的距离 d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))－b×\f(b,2)＋8)),\r(a2＋b2))＝eq