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高中数学中点弦问题的解题方法 第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 5 页 高中数学中点弦问题的解题方法 会泽县茚旺高级中学 杨顺武 解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题. 一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）： 第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为、，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子， 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方 法为“点差法”。 第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切（如下图）。此时缩小的曲线方程如，，两边对求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是在中点处的值。 二、题型示例 题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）以B（1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 即。 但与双曲线方程联立消去y得，无实根。因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。 注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。 例3．已知直线与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点的坐标为 ． 解析：设，由得，从而，因此，线段AB的中点的坐标为． 例4.过圆内一点引一条弦，使弦被平分，求这条弦所在的直线方程。 题型二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例5.已知椭圆C：，直线过点P（1,1）交椭圆C于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程。 分析：此题涉及到弦AB的中点坐标，且弦的斜率等于MP的斜率。故采用“点差法”。 解：设，则 ∵点P在椭圆内部，直线与椭圆恒有两个交点，∴点M的轨迹方程为： 题型三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得， 即 ，， 　　这就是弦中点轨迹方程。 它与直线的交点必须在椭圆内 联立，得　则必须满足， 即，解得 题型四、证明定值问题 例7.已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值. 证明 设且， 则，（1），（2） 得：， ，. 又，，（定值）. 题型五、求参数的取值范围 例8.如图，在中，，椭圆C：，以E、F为焦点且过点D，点O为坐标原点。 （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若点K满足，问是否存在不平行于EF的直线与椭圆C交于不同的两点M、N且，若存在，求出直线的斜率的取值范围，若不存在，说明理由。 xyDEFO解：（Ⅰ）略 x y D E F O （Ⅱ）分析：∵， 设MN的中点为H，则，此条件涉及到弦MN的中点及弦MN的斜率，故用“点差法” 设，直线的斜率为（， 则①　②　由①－②得： 　又∵，则，∴，从而解得，点在椭圆内，则且 作者简介：杨顺武，男，1969年2月出生，会泽待补人，中学高级教师，国家数学奥林匹克二级教练员。 92年7月毕业于曲靖师范专科学校数学系数学专业，本科学历，中共党员。论文《数学复习中的纠错策略》荣获省级一等奖。《数学解题中的几种常见错误》荣获省级一等奖。《圆锥曲线中的四心》荣获省级二等奖。以上三篇论文的授奖单位均为云南省教育科学院；《培养学生直觉思维能力的策略》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛二等奖。《谈高考数学规范化解题》荣获《云南和谐教育论文》评优竞赛一等奖。论文《谈高考数学规范化解题》发表在《云南省教育教学论文精选》一书中。论文《球的切接问题的解题方法》发表在考试指南报2013年第332期第6版上。教育教学中努力做到了自我教育，自我约束，主动研究，自我提高，完善自我。做到处处关心爱护学生，和学生建立“忘年交”，与他们做心心相印的朋友，建立了美好和谐的师生感情。