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8 2023 年上海预赛
一、填空题（本大题满分 60 分，前 4 小题每小题 7 分，后 4 小题每小题 8 分）
π
log tan （ 0 a = 1 x 0 均成立，则实数 的取值范围是
1. 若不等式 a x x a , ̸ ）对任意 ∈ , a
4
．
2. 将 枚硬币和 个骰子同时投掷，硬币出现正面记为 2 ，出现反面记为1 ，此数与骰子的点数之
积记为x (例如硬币出现正面，骰子点数为3 ，则x = 2 ×3 = 6) ，那么x 的数学期望是 ．
3. 已知长方体 ABCD − A B C D 中，AB = BC = 4 ，AA = 2 ，P 是平面 A BC 上 动点，
1 1 1 1 1 1
» »
且 DP · P B = 0 ，则满足上述条件的所有的点P 所围成的平面区域的面积等于 ．
4. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y = x3 − ax 有两条互相平行的切线，若这两条切线的斜率均
为 1，且两条切线之间的距离为8 ，则实数a 的值为 ．
5. 正整数 a , a , a , a , a 构成 个严格增的等比数列，且满足 a + a + a + a + a = 211 ，则
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
a1 = ，公比q = ．
6. 已知曲线Γ 的方程是x |x | + y |y | = 1 ，若过点A(1, 0) 的直线l 与Γ 恰有三个不同的交点，则直
线的倾斜角的取值范围是 ．
ß b ™
对任意正实数a,b ，记m = min a, ，则m 的最大值为 ．
7. 给定正实数k ，
ka2 + b2
8. 十进制六位数a a a a a a 中，每个数码a (1 ≤ i ≤ 6）都是奇数，且其中出现的数码1 不允许相
1 2 3 4 5 6 i
邻（例如，135131 ，577797 满足条件，而311533 不满足条件）则这种六位数的个数是 ．
17
8 2023 年上海预赛
二、解答题（本大题满分 60 分，每小题 15 分）
1
9. 已知抛物线y2 = 2px （p 0）与双曲线y = − 相交于点R ，抛物线与双曲线的公切线分别与
x
拋物线、双曲线相切于点 、 ．求证：对于任意正实数 ， RST p
S T p
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