2023年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题.pdf

2 2023 年重庆预赛 一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分） 1. 设集合 ß5 + y | 1 ≤ x ≤ y ≤™ 中的最大元素与最小元素分别为M , N ，则MN = ． x 2. 设f (x) 是二次函数，且2x2 −4x +3 ≤ f (x) ≤ 3x2 −6x +4 ，f (3) = 11，则f (5) = ． 3. 若实数x, y 满足4x2 − 2xy + 2y2 = 1 ，则3x2 + xy + y2 的最大值与最小值的和为 ． 4. 一只蚂蚁在正方体 − 的顶点 处，每次等概率地爬行到相邻三个顶点中的一 ABCD EF GH A 个，那么六次爬行之后回到顶点A 处的概率为 ． 5. 设α, β, γ ∈ R ，且满足sin α · cos β + |cos α · sin β | = sin α · | cos α| + |sin β | · cos β ，则(tan γ − sin α)2 + (cot γ − cos β)2 的最小值为 ． 2 2 x y 6. 双曲线 − = 1 的左、右焦点分别为A, B ，P 是双曲线上一点，若 △P AB 的内切圆圆心 a2 16 为I (3, 1) ，则△P AB 外接圆的半径为 ． 7. 已知复数z 满足 |z | = 1 ，则|z3 + z2 − 5z + 3| 的最大值为 ． √ # » 1 # » # » 1 # » # » 1 # » 8. 棱长为 2 的正四面体ABCD 中，已知AP = AB ，AQ = AC ，AR = AD ．若点K 为 2 3 4 △BCD 的重心，则四面体KP QR 的体积为 ． 5 2 2023 年重庆预赛 二、解答题（本题满分 56 分） 9. （本题满分16 分）设x, y, z ≥ 0 ，且x + y + z = 2 ，证明：3x + 8xy + 16xyz ≤ 12 ，并指出其中 “=”成立的条件． 1 2a2 10. （本题满分20 分）已知λ 为正实数，数列 {an } 满足：a1 = ，an+1 = 2 n ，n = 3 4an − 2an + 1 m 1, 2, 3, · · · 若对任意的 m ∈ N∗ ，都有 ak λ ，求λ 的最小值． k=1 2 2 x y 2 11. （本题满分20 分）已知椭圆C ： + = 1 （a b