2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题.pdf

1 2023 年北京预赛 一试 前 8 题每题 8 分，第 9 题 16 分，第 10、11 题每题 20 分 1. 如图，∠ACB = 90◦ ，AC = BC ，AD ⊥ CE ，BE ⊥ CE ，垂足分别是D, E ．已知AD = 8 ， BE = 3 ，则DE = ． 2. S 是集合 {1, 2, · · · , 2023} 的子集，满足任意两个元素的平方和不是9 的倍数，则 |S | 的最大值 是 ．（这里|S | 表示 S 的元素个数） 3. 已知函数f (x) = sin ωx + sin 2x ，其中ω ∈ N+ ，ω ≤ 2023 ．若f (x) 2 恒成立，则满足题设 的常数ω 的个数为 ． 4. 已知集合 A = {1, 2, 3} ，映射f ：A → A ，且满足对任意x ∈ A ，有f (f (x)) ≥ x ，则这样的f 有 个． » » » » » » ◦ » » 5. 已知向量| a | = 1 ，| b | = 2 ，且 a ，b 的夹角为120 ．若a + t b 与t a + b 的夹角为锐角，则 t 的取值范围是 ． 3 2 6. 设实数x, y 满足 x − 3x + 2026x = 2023 ，则x + y = ． y3 + 6y2 + 2035y = −4053 2√2 A − B C 7. 已知在△ABC 中，a = 2b ，cos B = ，则sin + sin = ． 3 2 2 8. 使得n2 + 2023n 为完全平方数的正整数n 的最小值是 ． 9. 已知a, b 为正整数，a b ，且a, b 互质．若关于x, y 的不等式ax + by ≤ ab 有且仅有 2023 组 正整数解，则 (a, b) = ．（求出满足题意的所有可能数组） 8 1 10. 已知x 是 个锐角，那么 + 的最小值是 ． sin x cos x 11. 现有 11 位同学报名博物馆的志愿讲解活动，活动从上午 9 点开始到下午 5 点结束，每小时 安排 场公益小讲堂，每场需要 1 位同学为参观的游客提供讲解服务．为避免同学们劳累，馆方在 排班时不会让同 人连续讲解 2 场，并且第 场与最后 场需要两位不同的同学负责．则馆方共有 种排班方式． 3 1 2023 年北京预赛 二试 一、（40 分）已知实数a , a , · · · , a 0 ，求证： 1 2 n n n ai−1 ai−1 + ai + 1 ≥