2023届高考数学二轮精讲三角与向量 第5讲 平面向量的概念和线性运算 Word版无答案 .docxVIP

第5讲 平面向量的概念和线性运算 知识与方法 本专题主要内容是向量的基本概念及线性运算(加法、减法、数乘)、向量共线定理及其在证明三点共线中的应用. 1.向量的有关概念 (1)向量的定义、模及表示法. (2)两个特殊的向量:零向量、单位向量. (3)平行(共线)向量:方向相同或相反的非零向量(零向量和任一向量平行). (4)相等(反)向量:长度相等且方向相同(反)的向量. 2.向量的线性运算 (1)向量的加法 三角形法则(图1):. 平行四边形法则(图2):. (2)向量的减法 三角形法则(图3):. (3)向量的数乘 定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,长度和方向规定如下. (1). (2)当时,与方向相同;当时,与方向相反;当时,. 3.共线向量定理及其应用 定理:向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使得. 应用:如图4,若三点共线 4.如图5,在四边形中,. (1)四边形是平行四边形. (2)且四边形是菱形. (3)四边形是矩形. (4)平行四边形对角线的性质:. 典型例题 【例1】(多选题)下列命题正确的有（ ） A.若,则 B.向量与向量是共线向量,则四点在一条直线上 C.当两个非零向量共线时,一定有,反之也成立 D.在中,若是的中点,则 【例2】在中,已知为边上的中线,为的中点,则_____. A. B. C. D. 【例3】设两个非零向量与不共线. (1)若.证明:三点共线. (2)试确定实数,使和共线. 【例4】记设为平面向量,则（） A. B. C. D. 【例5】如图,在中,已知点在线段BC上,且满足,过点的直线分别交直线于不同的两点.若,则;若,写出类似的结论:.(答案不唯一) 【例6】在平面直角坐标系中,为坐标原点,已知两点.若点满足,其中,且,则点的轨迹方程为（） A. B. C. D. 【例7】设是平面上的定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 【例8】若是所在平面内的一点,且满足,则的形状为 _____. 【例9】已知是内一点,且,则的面积与的面积之比为_____. 【例10】已知,点在线段上,且的最小值为1,则的最小值为_____. A. B. C.2 D. 强化训练 1.给出下列命题:(1)若是不共线的四点,则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件;(2)若都是单位向量,则;(3)向量与相等.所有正确命题的序号是（） A.(1) B.(3) C.(1)(3) D.(1)(2) 2.在中,已知为边上的高,为的中点.若,则（） A.1 B. C. D. 3.已知向量,则（） A.三点共线 B.三点共线 C.三点共线 D.三点共线 4.设是两个非零向量,下列选项正确的是(). A.若,则 B.若,则 C.若,则存在实数,使得 D.若存在实数,使得,则 5.如图,在中,已知是上一点.若,则实数的值为_____. 6.已知等差数列的前项和为,若,且三点共线(该直线不过原点),则_____. A.100 B.101 C.200 D.201 7.已知点是所在平面内的一点,动点满足,则点的轨迹一定通过的（） A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 8.已知为四边形所在平面内的任意一点,若,则四边形一定是（） A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形 9.在中,已知分别为的中点.为线段上的任一点,实数满足.设的面积分别为,记,则当取最大值时,的值为 A. B.1 C. D. 10.在中,若对任意均有成立,则（） A. B. C. D.