2023届高考数学二轮精讲三角与向量 第7讲 平面向量的数量积及坐标表示 Word版无答案.docxVIP

第7讲 平面向量的数量积及坐标表示 知识与方法 本专题主要内容是向量数量积的定义、投影向量、数量积的几何意义、数量积的坐标表示、向量的模长公式、两个向量的夹角计算公式等.数量积有四种不同形式:原始定义、几何意义、极化恒等式、余弦定理形式.解题时选择合适的基底或建立平面直角坐标系表示向量及其数量积,要能因“题”制宜,灵活运用,合理选择其中一种形式进行求解. 1.数量积的定义 ,其中是与的夹角,的取值范围是. 投影向量 如图,设是两个非零向量,在平面内任取一点,作,过点作直线的垂线,垂足为,我们把叫做向量在上的投影向量. 3.数量积的几何意义 与的数量积等于与在方向上的投影向量的数量积. 4.数量积的坐标表示及性质 坐标表示:若,则. (1)；(解决垂直问题) (2);(求向量的长度) (3);(求向量的夹角) (4).(当时取等号) 5.极化恒等式. 6.余弦定理形式. 典型例题 【例1】已知,若与的夹角为,求的值. 【例2】已知都是非零向量,且与垂直,与垂直,求向量与的夹角. 【例3】 设两个向量 满足 的夹角为 , 若向量 . 与 的夹角为钝角,求实数的取值范围. 【例4】已知 是空间单位向量, . , 若空间向量 满足 , 且 A. B. C. D. 【例5】已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2=12，若空间向量b满足b·e1==2，b·e2=52，且对于任意,则_____. 【例6】已知平面向量满足,且与的夹角为,则的取值范围是_____. 【例7】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是（） A.1 B.2 C. D. 【例8】已知向量,点满足,若,且,则的取值范围是_____. 【例9】已知 △ABC 是边长为 2 的等边三角形, P 为平面 ABC 内一点, 则 PA?(PB+ A. B. C. D. 【例10】已已知点为的外心,若,则的取值范围是() A. B. C. D. 【例 11】已知 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 满足 , 则 最小值为_____. 强化训练 1.设为单位向量,非零向量.若的夹角为,则的最大值等于_____. 2.已知都是非零向量,且,求向量与的夹角的正弦值. 3.已知平面上的三点,若为钝角,则的取值范围是() A. B. C. D.且 4.设为两个非零向量的夹角,已知对任意的实数的最小值为1() A.若确定,则唯一确定 B.若确定,则唯一确定 C.若确定,则唯一确定 D.若确定,则唯一确定 5.已知正四面体的棱长为2,空间动点满足,求.的取值范围. 6.已知是平面内的单位向量,若向量满足,则的取值范围是_____. 7.已知是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是 A. B. C.2 D. 8.已知向量满足,且,则的取值范围是_____. 9.在中,已知是边上的定点,满足,且对于边上任一点,恒有,则() A. B. C. D. 10.若三点不共线,,则的取值范围是（） A. B. C. D. 11.已知共面向量满足,且.若对每一个确定的向量,记的最小值为,则当变化时,的最大值为（ ） A. B.2 C.4 D.6