简明微积分定积分的概念与性质.pptVIP

第三节 定积分的概念与性质一、引入定积分概念的实例二、定积分的概念三、定积分的几何意义四、定积分的性质 一、引入定分概念的例　引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边.yNy= f (x)M问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积.xoab 求曲边梯形的面积A的具体做法：(1)分割在(a,b)内插入n–1个分点把区间[a,b]分成n个小区间记每一个小区 间的长度为过每个分点x (i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲i边梯形分割成n个小曲边梯形. 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题.以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念. 二、定分的概念　定义 定积分(简称积分)其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积.定积分的存在定理 关于定积分的概念，还应注意两点:(1)定积分是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有(2)在定积分的定义中，总假设 ，为了时作如下规定：今后的使用方便，对于 三、定分的几何意　如果在[a,b]上，则在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积 .如果在[a,b]上，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数 . 如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. 四、定分的　设函数f(x)，g(x)在[a,b]上可积性质1 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 性质 3 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[ c 和 c ba, ] [ , ]，则当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立.性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分. 例1解利用定积分的几何意义，可分别求出 性质4性质5特别的, 性质6 (定积分估值定理)证明 例2解 性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点 ，使下式成立证明 因为函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在[a,b]上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质6，有 介于f(x)在[a,b]上的最大值M和最小即数 值值m之间. 性质7的几何意义： 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，我们称为函数f(x)在[a,b]上的平均值.如已知某地某时自0至24时天气温度曲线为f(t),t为时间，则表示该地、该日的平均气温.如已知某河流在某处截面上各点的水深为h(x),(a为河流在该截面处水面之宽度)，则该河流在该截面处的平均水深为.