第07讲 定值问题（解析几何）（原卷版）.docxVIP

第07讲 定值问题 知识与方法 圆锥曲线中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等) 的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关, 不依参数的变化而变化, 始终是一个确定的数值. 1. 定值问题的解法 (1)常规解法: 选定参数, 求出题目所需的代数表达式, 然后对表达式进行计算、化简、消参, 从而得到定值. 步骤为: 一选（选好参数）、二求(化简消参）、三定值（得到定值）. (2)特殊解法: 曲线系法, 仿射变换法等. 2. 两个技巧 定值问题的处理技巧: (1)思路：可从特殊情况入手 (如直线斜率不存在时）, 求出定值, 再证明这个值与变量无关; (2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数, 以利于向目标靠拢. 3. 三个定值模型 (1)圆锥曲线定义相关的定值; (2)圆锥曲线垂径定理: , 详见《垂径定理与第三定义》一节; (3)椭圆的共轭直径性质：详见 《椭圆的共轭直径》一节. 4. 八类常见的定值问题 (1)斜率为定值 (2)斜率之和（积）为定值 (3)斜率之比为定值 (4)角度为定值 (5)距离为定值 (6)面积为定值 (7)数量积为定值 (8)系数和为定值 典型例题 类型 1: 斜率为定值 【例1】 设椭圆 的左右焦点分别为 椭圆上点 到两焦点的距离之和为 , 椭圆的离心率为 . (1) 求椭圆 的方程; (2) 直线 与椭圆 在第一象限交于点 , 点 是第四象限的点且在椭圆 上, 线段 被直线 垂直平分, 直线 与椭圆 交于点 ( 异于点 ）, 求证直线 的斜率为定值. 【例2】过抛物线 一定点 , 作两条直线分别交抛物线于 若 与 的倾斜角互补, 求证：直线 的斜率是常数. 【例3】 已知椭圆方程为 , 点 , 设直线 经过点 且与 交于不同的两点. ,, 试问：在 轴上是否存在点 , 使得 与直线 的斜率之和是定值？若存在请求出点 的坐标以及定值, 若不存在请说明理由. 类型 2: 斜率之积为定值 【例4】已知椭圆 的上、下顶点分别为 , 点 在椭圆上, 且异于点 , 直线 、 与直线 分别交于点 , 设直线 的斜率分别为 , 求证: 为定值. 【例5】 已知 分别为椭圆 的左、右顶点, 为直线. . 上的动点， 与 的另一交点为 与 的另一交点为 . 求证: 为定值. 类型 3: 斜率之比为定值 【例6】已知抛物线 的焦点为 , 过点 的直线交抛物线于两点, 直线 分别与抛物线交于 两点. 求证：直线 与直线 的斜率之比为定值. 【例7】已知椭圆 , 左右顶点分别记为 , 过右焦点 作直线 交椭圆于 . 两点,记直线 的斜率为 , 直线 的斜率为 . (1) 求 的值; (2) 求证直线 与直线 的交点 的在一条定直线上. 【例】 如图, 已知抛物线 , 点 . 过点 作直线 交抛物线 于点 , 直线 分别交抛物线 于另一个点 , 设直线 和 的斜率为 , 则 (1) 直线 经过定点 ; (2) 为定值. 类型 4: 角度为定值 【例9】已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 , 短轴长为 , 直线 与椭圆 交于 两点. (1) 求椭圆 的方程; (2) 若直线 与圆 相切, 探究 是否为定值, 如果是定值, 请求出该定值; 如果不是定值, 请说明理由. 【例10】 已知双曲线 的离心率为 , 右准线方程为 , 设直线 是圆 上动点 处的切线, 与双曲线 交于不同的两点 , 证明 的大小为定值. 【例11】 已知椭圆 上的点到它的两个焦的距离之和为 4 , 以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点, 点 分别是椭圆 的左、右顶点. (1) 求圆 和椭圆 的方程. (2) 已知 分别是椭圆 和圆 上的动点 位于 轴两侧 , 且直线 与 轴平行,直线 分别与 轴交于点 . 求证: 为定值. 类型 5：距离为定值 【例12】在平面直角坐标系中, 圆 过点 和点 , 圆心 到直线 的距离等于 . （1）求圆 的标准方程; （2）若圆心 在第一象限, 为圆 外一点, 过点 做圆 的两条切线, 切点分别为 , 四边形 的面积为 , 问线段 CM 的长是否为定值？若为定值, 请求出定值; 若不是定值, 请说明理由. 【例13】 已知椭圆 的离心率为 , 且过点 . (1) 求 的方程: (2) 点 在 上, 且 为垂足. 证明：存在定点 , 使得 为定值. 【例14】 如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2a2+