第10讲 点差法与定比点差法（解析几何）（解析版）.docxVIP

第10讲 点差法与定比点差法 知识与方法 1、点差法的原理 (1)假设点在有心二次曲线上，且弦的中点为代入曲线,有,两式作差,得;左右两边同除以 ,得.变形得,其中为有心二次曲线的离心率(圆的离心率). （2）抛物线,任意弦的中点为代入曲线方程，有,两式作差,得,左右两边同除以,得. 2、有心二次曲线 实仿射平面的有一个对称中心的常态二次曲线称为有心二次曲线,所有有心二次曲线都是椭圆或双曲线. 3、点差法基本题型 （1）求以定点为中点的弦所在直线的方程 （2）过定点的弦和平行弦的中点轨迹问题 （3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 （4）圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 与中点有关的的几何特征：对称、垂直平分、等腰三角形、菱形、平行四边形等. 4、点差法在双曲线中的适用条件 已知双曲线,任意弦的中点, 若当中点满足,则这样的双曲线的中点弦不存在（如图阴影部分）; 若当中点满足或，则这样的双曲线的中点弦存在. 5、定比分点 若 AM=λMB, 则称点 M 为点 A 当 λ0 时, 点 M 在线段 AB 当 λ0(λ≠?1) 时, 点 M 定比分点坐标公式: 若点 Ax1,y1 6、定比点差法原理: 若 AM=λMB,AN=?λNB, 则称 定理: 设 A,B 为有心二次曲线 x2a2 则一定有 x 证明: (1) 设点 A 因为 AM= 则由定比分点坐标公式可得 Mx 将 A,B 代入曲线, 有 x (1) - (3) , 得 x1 这样就得到了 1a2? (2) 若点 MxM,yM 7、定比点差法基本题型 (1) 求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围; (2)简化证明过定点的直线问题的运算以及定值问题; 典型例题 点差法 关于点差法的研究, 在解析几何中有着广泛的应用, 主要有以下四种基本题型. 求以定点为中点的弦所在直线的方程 【例1】 已知双曲线 x2?y22=1, 过 B(1,1) 能否作直线 l, 使 l 【答案】不存在. 【解析】假设这样的直线存在, 设点 Px1,y1 x1+ 左右两边同除以 x1+x 即 1?12?y0x0 所以 l 的方程为 y?1=2(x?1) 联立直线与双曲线 x2?y22 此方程无实数解，与假设矛盾, 所以满足题设的直线不存在. 【注】本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心. 由此题可看到中点弦问题中 判断点的 M 位置非常重要. 若中点 M 在圆锥曲线内, 则被点 M 平分的弦一般存在; 若中点 M 在圆锥曲线外, 则被点 M 平分的弦可能不存在. 求过定点的弦或平行弦的中点轨迹 【例2】 已知椭圆 x24+y23=1 的弦 AB 【答案】 3 【解析】设 Ax1,y1 若直线 AB 的斜率存在, 将 A,B 代入椭圆, 的 两式作差, 得 x1 左右两边同除以? ?得? ?所以直线? 整理得 3x2+4 则 AB 的方程为 x=1, 代入椭圆方程解得 A,B 所以 F(1,0) 故 3x2+4 【注】不难看出, 在求满足一定条件的动弦的中点轨迹方程时, 利用点差法可以大大减少计算量, 简化推理过程. 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 【例3】 已知中心在原点, 一焦点为 F(0,50) 的椭圆被直线 l ?【答案】? ? 设弦端点 Px1,y1、Q y 得 y12a 即 ?b2y1 联立(1) 2)解得 a2=75,b 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 【例4】已知椭圆 x24+y2 【答案】 ?2 【解析】设 P1x1,y1, 则 x1 左右两边同除以 x1+x 由题意可知: x1 所以 y0=3x0, 即 Px0,3x0 因为弦 P1P2 的中点 P 必在椭圆内, 所以 (? 【例5】已知椭圆 E:x2 (1) 求椭圆 E 的方程. (2) 设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B, 已知点 A(?a,0), 点 Q0,y 【答案】 y0=±22 【解析】 (1) 由 e=ca=32, 得 由题意可知 12?2a?2b=4, 即 所以椭圆 E 的方程为 x2 (2) 设 Ax1,y1 当直线 l 与 x 轴重合时, A(?2,0),B(2,0) 由 QA?QB= 当直线 l 不过原点 O 且不平行于 x 轴时, 于是 kl 又 x12 ?左右两边同除以? ?因为? 定比点差法 关于点差法的研究, 在解析几何中有着广泛的应用, 下面主要从三方面来研究. 求弦长被坐标轴分界的两段的比值范围 ? 求?| ?【答案】? ?所以:? 又因为 y1∈[?2,2], 则 【注】根据两个调和调和定比分点的联立, 将坐标求出与比值的关系式, 两个定比分点的式子将问题 解决, 这就是定比点差法的核心. 【例7】 已知椭圆 C:x2b2+y2a2=1(ab0) 的上下两焦点