第09讲 垂径定理与第三定义（解析几何）（解析版）.docxVIP

第09讲 垂径定理与第三定义 知识与方法 利用点差法，容易证明下列结论： 1.椭圆垂径定理：如下图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，且存在，则. 2.椭圆第三定义：如左下图，已知点为椭圆长轴的端点（或短轴端点），是椭圆异于的点，则. 推广 如右上图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，且存在，则. 证明：设，，则. 所以 由两式相减，整理可得，所以为定值. 3.双曲线垂径定理：如下图，已经直线与双曲线相交于、两点，点为的中点，为原点，且存在，则. 4.双曲线第三定义：如左下图，已知点为双曲线实轴的端点，是双曲线异于的点，则. 推广 如右上图，已知是双曲线（或双曲线）上关于原点对称的两点，是椭圆（或双曲线上）异于的一点，且存在，则.（其中为椭圆或双曲线的离心率） 6.图形扩展：两种特殊情况 图1中：为椭圆的切点，有； 图2中：为的中点（分别在双曲线的两条渐近线上），有. 典型例题 【例1】已知椭圆的右焦点为，且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0，为坐标原点，若直线的斜率之和为1，则 . 【答案】 【解析】由椭圆垂径定理，，∴， 同理，， 所以，. 【例2】已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于直线对称. 【答案】 【解析】设是椭圆上关于直线对称的不同两点，弦的中点为，则由垂径定理有，又，所以，即. 又因为点在直线上，且在椭圆上，所以. 解得，故所求实数的取值范围是. 【例3】已知椭圆的离心率，是椭圆的左右顶点，为椭圆上一点（与不重合），令，，则= . 【答案】 【解析】令，由椭圆的垂径定理可知：. 【例4】设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则双曲线的离心率是 . 【答案】 【解析】解法1：垂直平分+垂径定理 设线段的中点为，如图，因为，所以， 于是，所以直线的方程为 由，解得，所以. 又由垂径定理，有，即， 所以. 解法2：倾斜角+垂径定理 直线与轴的交点为，为的中点， 设的中点为，则，设， 则， 由双曲线垂径定理有：，即，得. 【例5】已知椭圆内有一点，过的两条直线分别于椭圆交于和两点，且满足，（其中，且），若变化时，的斜率总为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解法1：椭圆垂径定理 ，分别取的中点， 由，所以三点共线， 又容易证明三点共线，所以， 于是，即，得. 解法2：小题巧解 由已知得，考虑极端情况，得切线， 切线斜率与的斜率之积为. ，即，得. 【例6】已知点，，动点满足直线和的斜率之积为，记的轨迹为曲线. （1）求的方程，并说明是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交于两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点. ①证明：是直角三角形； ②求的面积的最大值. 【答案】（1）见解析：（2）. 【解析】（1）由题意，化简， 所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左、右顶点. （2）①依题意设，，，直线的斜率为， 则，， 所以. 又，所以，所以， 即是直角三角形. ②直线的方法为，联立，得， 则直线， 联立直线和椭圆，可， 则，所以， ， 令，则，所以. 因为，所以的面积的最大值为. 强化训练 1.已知椭圆的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，又，所以，选D. 2.已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围是为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可得，，由渐近线方程可知，，故， 故，. 3.已知双曲线，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上的动点，直线的斜率分别为，若的最小值为2，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得，所以，故选A. 4.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为椭圆的右焦点为，所以，设直线的中点为， 所以，所以，所以，故选C. 5.过原点的直线与椭圆交于两点，是椭圆上异于的任一点.若直线的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】可知，所以，所以，故选B. 6.双曲线的左、右顶点分别是，为上任意一点，若直线的斜率之积，则双曲线的离心率为（ ） A.5 B. C.2 D. 【答案】B 【解析】由双