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现代机械优化设计 授课老师： 王春洁 2014-12-17 目录 第一部分 一、 一维优化方法 2. 进退法 2 格点法 2 牛顿法 2 二次插值 3 应用原则： 4. 二、 多维无约束优化 4. 梯度法 4 二阶牛顿法与阻尼牛顿法 5. DFP 变尺度法 6 单纯形法 6 三、 多维约束优化 6. 随机方向有哪些信誉好的足球投注网站法 8 可行方向法 8 惩罚函数法 8 第二部分 一、 采用有约束多维优化方法解决箱梁模板的设计问题 10 问题的描述 11 多维约束优化 14 总结与致谢 1. 8 参考文献 1. 9 第一部分 本部分为简述学过的优化算法（一维，多维无约束，多维有约束）的选择方法及应用原则。 一、 一维优化方法 进退法 由单峰函数的性质可知，在极小点 x 左边函数值应严格下降，而在极小值右 m 边函数值应严格上升。因此，可从某一个给定的初始点 x 出发，以初始步长h 沿 0 0 着函数值的下降方向，逐步前进（或后退），直至找到相继的 3 个试点的函数值 按“高---低---高”变化为止。 格点法 格点法是一种计算极其方便的方法，其迭代步骤可简要概括为把有哪些信誉好的足球投注网站区间等 分成 n 个点 x , x ,…,x ，计算各个点对应的数值，取出函数值最小的点的横坐标 1 2 n x ，之后，在x 两侧取临点 x , x ，作为新的区间并判断x ? x ? eps 是否 m m m?1 m?1 m?1 m?1 成立，倘若成立，则 x 就是最优解，对应的函数值 y m m 即为最优值；若不成立则 以[x  m?1 x m?1 ]为新区间重复以上过程直到满足条件为止。 牛顿法 牛顿法是用切线代替弧，逐渐逼近函数根值的方法。当目标函数 f ( x) 有一阶连续导数并且二阶导数大于零时，在曲线 y ? f (x) 上作一系列切线，使之与 x 轴的脚垫 x(0) , x(1) , x(2) , x(3) ...... 逐渐趋于 f (x) ? 0 的根 x *。 0对于一维有哪些信誉好的足球投注网站函数 y ? f (? ) ，假定已经给出极小点的一个较好的近似点? ， 0 在? 点附近用一个二次函数?(?) 来逼近函数 f (?) ： 0 f ?? ?? ? ?? ?? f ?? 0 ?? f ??? 0 ??? ?? 0 ?? 1 2 f ? ?? 0 ??? ?? ?2 0 然后以该二次函数?(?) 的极小点作 f (?) 极小点的一个新的近似点? 1 极值必要条件： 。根据 ???? ?? 0 即： 可得： f ??? ?? f ??? 0 0 ??? ?? 0 ?? 0 ? ? ? f ??? ? ? ? 0 ? 1 0 依次继续下去可得到牛顿迭代公式： f ? ? 0 ? ? ? f ??? ? ? ? k ?  k ? 0,1,2,... k ?1 其具体计算步骤概括为： k f ? ? k 给定初始点? 0 ，控制误差? ，并令k ? 0 ; 计算 f (? k ) ， f (? ) ； k 根据牛顿迭代公式求? ； k ?1 若 a ? a k ?1 k ? ? 则求得近似解a* ? a  k ?1 ，停止计算，否则转到 5）； 令k ? k ?1转到 1）。 二次插值 二次插值是多项式逼近法的一种。所谓多项式逼近，是利用目标函数在若干点的信息(函数值，导数值等)，构成一个与目标函数值很接近的低次插值多项式， 然后利用该多项式的最优解作为函数的近似最优解，随着区间的逐次缩短，多项式函数的最优点与原函数最优点之间的距离逐渐减小，直到满足一定的精度要求时迭代终止。 设原目标函数在 x ? x ? x 的三个点对应的函数值 f (x ) ? f (x ) ? f (x ) 则可 1 2 3 1 2 3 作出如下多项式：  P(x) ? a  ?a x ? a x2 0 1 2 多项式 P( x) 的极值点可从极值的必要条件求得： P (x p 即： ) ? a ?2a 1 2 a x ? 0 x ? ? 1 p 2a 又由于： 2 P ?x ?? a ? a x ? a x 2 ? f ?x ? ? 1 ? 0 1 2 2 2 ? 1 ? P x ? a ? a x ? a x 2 ? f x ? 2 ? 0 1 2 2 2 ? 2 ? P x ? a ? a x ? a x 2 ? f x 根据以上各式可知： 3 0 1 3 2 3 3 1 ? c ? ??x ? ? x ? x ? 1 ? ? ? 式中： p 2 1 3 c 2 f ?x c ? 3 ??1 x ? ? ?? f