水文学课件-极限原理.pptVIP

极限定理 §5－1 随机变量的两种收敛性 一、几乎处处收敛（以概率1收敛） 二、依概率收敛 一、几乎处处收敛（以概率1收敛） 二、依概率收敛 §5－2 大 数 定 理 车贝雪夫定理 设X1,…,Xn独立,E(Xi)，i=1, …,n存在,且存在常数C,使得D(Xi)C, i=1,…,n,则对任意正数ε有 式中 表示N个独立随机变量的平均值对其数学期望平均值的偏差,它是一个随机变量,车贝雪夫定理表明,当n→∞时,这种偏差的绝对值几乎肯定(依概率)小于任意正数ε。 贝努里定理 设贝努里试验中事件A在每次试验中出现的概率p(0≤p≤1)，以nA表示在n次试验中A出现的次数,则对任意ε0,有 我们知道, 是在n次试验中事件A出现的频率，因此这个定理说明,当试验次数无限增大时,事件A出现的频率依概率收敛于事件的概率,这就是频率稳定性的数学表达，也是用大量试验中事件的频率作为概率近似值的理论根据。 或 泊松定理 设在一个试验序列中,事件A在第i次试验中出现的概率为pi,若在前n次试验中,A出现了nA次,则对任意ε0,有 辛钦定理 设Xi(i=1,2,…)为独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望E(Xi)=μ, (i=1,2,…),则对任意ε0,有 强大数定律 定义 设{Xn}为随机序列,且各Xi的数学期望值E(Xi) ,i=1, …,n均存在,若 几乎处处(或以概率1)收敛到 ,则称{Xn}服从强大数定理。 包括 1.波雷尔定理 2.柯尔莫哥洛夫定理 1.波雷尔定理 设在贝努里试验中,事件A每次出现的概率为p(0≤p≤1),以nA表示在n次试验中A出现的次数,则事件A的频率几乎收敛到概率p,即 波雷尔定理表明: 频率nA/n几乎对所有ω∈Ω都趋于概率p,换句话说, 成立的概率为1,而发生 这一事件的概率为0。(尽管不能说这是不可能事件,但至少是几乎不可能发生)。这就更进一步阐明了大量重复试验中,事件出现的频率稳定于其概率这一客观规律的确切含义。 2.柯尔莫哥洛夫定理 (1) 设X1,X2,…为相互独立的随机变量序列,若 ∞,则{Xn}服从强大数定律,即 (2)设X1,X2,…为相互独立同分布的随机变量序列,若 E(Xi) ∞, i=1 , 2 …(即各Xi的数学期望存在),则{Xn}服从强大数定律。即有 §5－2 中 心 极 限 定 理 定义:设{Xn}为相互独立的随机变量序列,各Xi数学期望和方差均存在,记 ai=E(Xi), =D(Xi) , i=1,2 …, Yn= 记Yn的标准化变量为 若对所有的x∈R,一致地有 (即当n→∞时, 的分布函数趋于标准化正态分布), 则称随机变量序列{Xn}服从中心极限定理。 林德伯格——勒维定理 设X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变量，且E(Xi)=a, D(Xi) = , i=1,2 …,n,若0 +∞,则随机变量 当n→∞时,服从正态分布N(0,1),即对任意实数x,有 上述定理表明,当n→∞时,这个标准化随机变量服从 标准化正态分布。因此 应服从N（a， ）分布。 德莫佛——拉普拉斯定理 设随机变量Zn(n=1,2, …)服从参数为n, p(0≤p≤1) 的二项分布,则随机变量 当n→∞时,服从正态分布N(0,1),即对任意x,有 由此可知,当n→∞时,二项分布变量渐近地服从 正态分布N(np, )。 林德伯格定理 设独立随机变量序列{Xn}满足林德伯条件，即对任意ε0,有 其中Fi(x)为Xi的分布函数，i=1,2 …，Bn的意义同前,则{Xn}服从中心极限定理。即对所有x∈R，一致地有