第五章三角函数-三角恒等变换与解三角形限时规范练--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.docxVIP

三角恒等变换与解三角形限时规范练 解答题(本题共5小题，每小题12分，共60分) 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2 A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若eq \r(2)a＋b＝2c，求sin C. 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b－c)2＝a2－eq \f(3,2)bc. (1)求sin A； (2)若a＝2，且sin B，sin A，sin C成等差数列，求△ABC的面积． 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2a，3csin B＝4asin C. (1)求cos B的值； (2)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))的值． 4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足(eq \r(2)a－c)eq \o(BA,\s\up6(→))·eq \o(BC,\s\up6(→))＝ceq \o(CB,\s\up6(→))·eq \o(CA,\s\up6(→)). (1)求角B的大小； (2)若|eq \o(BA,\s\up6(→))－eq \o(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(6)，求△ABC面积的最大值． 5．某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝eq \f(2π,3)，∠BAE＝eq \f(π,3)，DE＝3BC＝3CD＝eq \f(9,10) km. (1)求道路BE的长度； (2)求生活区△ABE面积的最大值． 答案 1.解：(1)由已知得sin2 B＋sin2 C－sin2 A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,2).因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得eq \r(2)sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即eq \f(\r(6),2)＋eq \f(\r(3),2)cos C＋eq \f(1,2)sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－eq \f(\r(2),2).由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝eq \f(\r(2),2)，故 sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). 2.解：(1)由(b－c)2＝a2－eq \f(3,2)bc， 得b2＋c2－a2＝eq \f(1,2)bc，即eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(1,4)，由余弦定理得cos A＝eq \f(1,4)，因为0＜A＜π，所以sin A＝eq \f(\r(15),4). (2)由sin B，sin A，sin C成等差数列，得sin B＋sin C＝2sin A，由正弦定理得b＋c＝2a＝4， 所以16＝(b＋c)2，所以16＝b2＋c2＋2bc.由(1)得16＝a2＋eq \f(5,2)bc，所以16＝4＋eq \f(5,2)bc，解得bc＝eq \f(24,5)， 所以S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(24,5)×eq \f(\r(15),4)＝eq \f(3\r(15),5). 3.解：(1)在△ABC中，由正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，得bsin C＝csin B．由3csin B＝4asin C， 得3bsin C＝4asin C，即3b＝4a. 因为b＋c＝2a，得到b＝eq \f(4,3)a，c＝eq \f(2,3)a.由余弦定理可得cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(a2＋\f(4,9)a2－\f(16,9)a2,2·a·\f(2,3)a)＝－eq \f(1,4). (2)由(1)可得sin B＝eq \r(1－cos2 B)＝eq \f(\r(15),4)，从而sin 2B＝2sin Bcos B＝－eq \f(\r(15),8)， cos 2B＝cos2 B－sin2 B＝－eq \f(7,8)，故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝sin 2Bcos eq \f(π,6)＋cos 2Bsin eq \f(π,6)＝－eq \f(\r(15),8)×eq \f(\r(3),