教学设计：椭圆的几何性质市赛一等奖.docx

《椭圆的几何性质》教学设计 教学目标 （1）掌握椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； （2）掌握椭圆标准方程中、、、的几何意义及相互关系； （3）感受如何运用方程研究曲线的几何性质． 教学重点，难点 运用方程研究曲线的几何性质． 教学过程 一．问题情境 1．情境： 复习回顾：椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆中、、的关系 2．问题： 在建立了椭圆的标准方程之后，就可以通过方程来研究椭圆的几何性质．那么椭圆有哪些几何性质呢？ 二．学生活动 学生通过椭圆的标准方程，以及椭圆的图象尝试观察、、在图象中的体现． 三．建构数学 1．范围 由方程可知，椭圆上点的坐标都适合不等式， 即，所以 ．同理可得． 这说明椭圆位于直线和所围成的矩形内． 2．对称性： 从图形上看：椭圆关于轴、轴、原点对称． 从方程上看：（1）把换成方程不变，说明当点在椭圆上时，点关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆的图象关于轴对称； （2）把换成方程不变，所以椭圆的图象关于轴对称； （3）把换成，同时把换成方程不变，所以椭圆的图象关于原点成中心对称． 综上：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 3．顶点： 在方程中，令，得，说明点，是椭圆与轴的两个交点．同理，是椭圆与轴的两个交点． (1)顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点； (2)长轴、短轴：线段、线段分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和； (3) 、的几何意义：是长半轴的长，是短半轴的长． 4．离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比，叫做椭圆的离心率． 说明：（1）因为所以． （2）越接近，则越接近，从而越小，因此椭圆越扁； 反之，越接近于，越接近于，从而越接近于，这时椭圆就接近于圆； （3）当且仅当时，，这时两焦点重合，图形变为圆，但本教材规定圆与椭圆是不同的曲线，有些书将圆看成特殊的椭圆； （4）试让学生通过探究的大小变化来发现＂扁＂的程度． 四．数学运用 1．例题： 例1．求椭圆的长轴长，短轴长，离心率，焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 分析：由椭圆的标准方程可知，，则椭圆位于四条直线，所围成的矩形内．又椭圆以两坐标轴为对称轴，所以只要画出第一象限的图形就可以画出整个图象． 解：根据椭圆的方程，得，，．因此，长轴长，短轴． 焦点为和，顶点为， ，，． 离心率． 将方程变形为，根据算出椭圆在第一象限的几个点的坐标： 说明：①本题在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性． ②根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性． 例2. 如图,我国发射的第一颗人造地球卫星运行轨道是以地心F2为焦点的椭圆.已知它的近地点距地面439km,远地点B距地面2384km，并且F2，A、B在同一直线上，地球半径约为6371km，求卫星运行的轨道方程（精确到1km). 五．回顾小结： 1．椭圆的基本几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率； 2．椭圆标准方程中、、、的几何意义及相互关系．