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第二章 推理与证明 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳，其求解思路如下： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论． 需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常需要严格的推理证明． 1、　(2022·南昌高二检测)在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图2－1的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________． 图2－1 【思路点拨】　由三角形三边的平方关系，猜想四个面的关系也可能是平方关系，即Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＋Seq \o\al(2,3)＝Seq \o\al(2,4)，然后按照这个思路推证． 【规范解答】　由图象可得S1＝eq \f(1,2)OM·ON， S2＝eq \f(1,2)OL·ON，S3＝eq \f(1,2)OM·OL， S4＝eq \f(1,2)ML·NL·sin ∠MLN ＝eq \f(1,2)ML·NL·eq \r(1－cos2∠MLN) ＝eq \f(1,2)ML·NL·eq \r(1－?\f(ML2＋NL2－MN2,2ML·NL)?2) ＝eq \f(1,4)·eq \r(4ML2·NL2－?ML2＋NL2－MN2?2). ∵OM2＋ON2＝MN2，OM2＋OL2＝ML2，OL2＋ON2＝LN2， ∴S4＝eq \f(1,2)eq \r(OM2·ON2＋OL2·ON2＋OM2·OL2)， ∴Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＋Seq \o\al(2,3)＝Seq \o\al(2,4). 【答案】　Seq \o\al(2,1)＋Seq \o\al(2,2)＋Seq \o\al(2,3)＝Seq \o\al(2,4) 类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理．显然其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同等比数列的类比等等． 需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需要严格证明． 2、已知：由图①有面积关系：eq \f(S△PA′B′,S△PAB)＝eq \f(PA ′·PB′,PA·PB). 图2－2 (1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系eq \f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝______________________. (2)证明你的结论是正确的． 【思路点拨】　由面积关系，类比推测eq \f(VP－A′B′C′,VP－ABC)＝eq \f(PA′·PB ′·PC′,PA·PB·PC)，然后由体积公式证明． 【规范解答】　(1)eq \f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq \f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC). (2)过A作AO⊥平面PBC于O，连接PO，则A′在平面PBC内的射影O′落在PO上， 从而eq \f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq \f(VA′-PB′C′,VA-PBC) ＝eq \f(\f(1,3)S△PB′C′·A′O′,\f(1,3)S△PBC·AO) ＝eq \f(PB′·PC′·A′O′,PB·PC·AO)， ∵eq \f(A′O′,AO)＝eq \f(PA′,PA)， ∴eq \f(VP-A′B′C′,VP-ABC)＝eq \f(PA′·PB′·PC′,PA·PB·PC). 演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取． 演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． 图2－4 3、　如图2－4所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF. 【思路点拨】　分别确定大前提、小前提，利用演绎推理的方法推出结论． 【规范解答】　同位角相等，两条直线平行，大前提 ∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以DF∥EA.结论 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提 DE∥FA，且DF∥EA，小前提 所以四边形AFDE为平行四边形．结论 平行四边形的对边相等，大前提 ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提 所以ED＝AF.结论 图2－5 已知：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图2－5所示，求证：EF∥平面BCD