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复数的概念单元教学设计 安徽省无为第三中学 王代玉 数系的扩充和复数的概念（人教版） 一、单元教学内容 ，本单元是复数内容第一单元，是复数一章教学起始课，学生已经掌握了数系的扩充及相应的运算规律。本单元主要内容是数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识 二、单元教学目标知识与技能 1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要 2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法 1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律 2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观 1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用 2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法三、单元教学重点 引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、单元教学难点 虚数单位 i 的引进和复数的概念五、学生分析 学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力， 并且对自然数扩充到实数及其有关运算规律有了较好的认识，知识铺垫较好，有 利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。 六、教学方法及教学用具 启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程 （一）问题引入 大家都知道，数，是数学中的基本概念，也是我们生活和科学技术时刻离不开的语言和工具。前几天，老师遇到了这样一个与数有关的问题，大家看看该怎样解决呢？ 问题 1：已知 x+y=3，xy 3，求 x 和 y 的值 生（独立完成）：得出关于 x 的一元二次方程后，学生可能认为无解。 师：既然问题是要求出 x 和 y 的值，说明确实有这样的数存在。该怎么求呢？ 你又是怎么想的呢？（留一定时间，让学生讨论） 师：事实上在实数范围内x 和 y 确实不存在？为什么会这样呢？假设 x 和 y 是 存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？ 1 正如同学们所分析的，数的概念需要进一步发展，实数集需要扩充。这就是本节课要研究的内容——§3.3.1 数系的扩充与复数的概念。 设计意图：发现问题，激发学生探究意识。 （二）回顾数系的扩充历程 应该如何进行数的扩充呢？到目前为止，大家已经知道，数系经历了三次扩充，就让我们通过回忆，从中寻找数系扩充的方法。 请大家以四人为一组合作探讨下面的问题。 问题 2：数在不断的发展，到目前为止，经历了三次扩充， 回顾数从自然数发展到实数的三次扩充历程。 说明数集 N,Z,Q,R 的关系 （2）分析每一次引入新数，扩大数系的原因。 师：经过同学们的讨论，我们知道，数的这种发展一方面是生产生活的需要， 另一方面也是数学本身发展的需要。并能有效解决“数不够用”的问题。 数与数之间的联系正是通过一些运算建立起来的， 如果没有运算，数不过是一些孤立的符号，毫无意义， 接下来让我们从运算的角度，进一步讨论数的扩充。 问题 3： 对于加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算来说，在以下四个数集中， (1)任意两个数运算所得的结果是否仍然属于这个数集。(2)试着分析，引入负数，分数，无理数对于运算的影响。 运 加 法 减法 乘法 除法 乘方 开方 算 数集 正整数集 是 否 是 否 是 否 整数集 是 是 是 否 是 否 有理数集 是 是 是 是 是 否 实数集 是 是 是 是 是 否 通过这个表格，我们看到，新的数集中，原有的运算律仍然适用， 同时引入新数后，使得原来的某种不可以实施的运算变得可行了。 通过不断的引入新数，数系逐步扩大到了实数系。 师：现在，我们再看看以前是怎么解决“数不够用”的问题的。 2 原因 1 原因 2 规律 自然数（N） 计数 1、实际需要、运算矛盾 整数（Z） 具有相反意义的量 减法在 N 不能完 全运算 有理数（Q）测量，分配 除法在 Z 不能完全运算 实数（R） 单位正方形对角线长 开平方在 Q 不能 完全运算 2 、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变 设计意图： 利用已有知识，引导学生找到探究的途径和方法，感受类比的思想方法的作用。 （三）类比，引入新数，将实数集扩充 1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数 师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不可能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？ （引导学生找到-1，因为任何一个负数都可以写成正数与-1 的乘积） 2、到目前为止，负数开偶次方的问题还没有解决，我们不妨先来研究负数开 平方的问题，从运算的角度来说，也就是要解决方程 在实数系中无解的问 题。像大家说的，我们可以仿照前面的做法，引入一种新数，法国数学家笛卡尔给这些数起名叫虚数，即 “虚的数”与“