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2014年考研数学（一）试题答案速查 选择题 （1）C （2）D （3）D （4）A （5）B （6）A （7）B （8）D 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 解答题 （15）. （16）有极小值. （17）. （18）. （19）略. （20）（Ⅰ）. （Ⅱ）,为任意常数. （21）略. （22）（Ⅰ）.（Ⅱ）. （23）（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）. 2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）参考答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． (1)【答案】C. 【解答】C选项， ，所以存在斜渐近线，故选择C. （2）【答案】D. 【解答】令，则, 若则在上是凸的，又，故当上时，，从而，故选择D. (3)【答案】D. 【解答】 (4)【答案】A. 【解答】 = = == 故当时，积分最小.故选择A. （5）【答案】B. 【解答】 故选择B. （6）【答案】A. 【解答】，记， ，. 若线性无关，则， 故线性无关，所以，线性无关是向量组线性 无关的必要条件；反之，未必成立，例如取，线性无关，虽然， 线性无关，却线性相关，故选A. （7）【答案】B. 【解答】 ，所以. 因此，故选择B. （8）【答案】D. 【解答】用特殊值法. 不妨设,相互独立， , . 故 ,选择D. 二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． （9）【答案】. 【解答】因，所以 ; 所以，曲线在点处的法向量为，故切平面方程为 ，即. （10）【答案】. 【解答】由于，所以，又为奇函数，故，代入方程可得,故，又是周期为的奇函数，则. （11）【答案】. 【解答】，，令，则， 代入原方程得，分离变量得， 两边积分可得，即， 故，代入初值条件得，即， 故解为. （12）【答案】. 【解答】直接利用参数方程 令从到，则 . （13）【答案】. 【解答】 =, 由于二次型的负惯性指数为，故，故. （14）【答案】. 【解答】, ，故. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 解： . （16）（本题满分10分） 解：方程两边同时求导得 ① 因此， 结合原方程，得驻点； 对①两边再求导可得 将代入上式得， 所以，在处取极小值，. （17）（本题满分10分） 解：由可得 由，并把以上式子代入得 即 令 得 ① 特征方程为 ，特征根为，通解. 设方程①的特解，代入方程?得，特解为， 则原方程的通解为，由得 ,则方程为. （18）（本题满分10分） 解：如图补：平面，被所截有限部分下侧；设和所围立体为，由高斯公式得 关于面和面对称，则 因为 ,， 所以， 又, 所以. （19）（本题满分10分） 解：（I) 因收敛，则，又，故 所以，收敛，故. （II) 因，则， 所以， 又收敛，则收敛. （20）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）对矩阵作初等行变换，可得 ， 则方程组的一个基础解系为； （Ⅱ）对矩阵作初等行变换，有 记，则 的通解为， 的通解为， 的通解为， 所以，，为任意常数. （21）（本题满分11分） 证：不妨设，，则， ， 特征值为， ，特征值为， 因为矩阵为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵； 对于矩阵，当时，，所以矩阵对应于特征值有个线性无关的特征向量，所以矩阵可以对角化为，所以二者相似. （22）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）设的分布函数为，则 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 所以的分布函数为 （Ⅱ）的概率密度函数为 . （23）（本题满分11分） 解：的概率密度函数为 （Ⅰ）， ； （Ⅱ）似然函数 当时，， 取对数，， 求导并令导数为零，，解得. 所以的最大似然估计量为. （Ⅲ）存在，因为是独立同分布的随机变量序列，且，所以根据辛钦大数定律，当时，依概率收敛于，所以对于任何，都有 .