2014考研数学（二）真题答案.docVIP

2014年考研数学(二)试题答案速查 一、选择题 （1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题 （9） （10） （11） （12） （13） （14） 三、解答题 （15）. （16）为极大值，为极小值. （17）. （18）. （19）略. （20）. （21）. （22）（Ⅰ）. （Ⅱ）,为任意常数. （23）略. 2014年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二）参考答案 选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （1）【答案】B. 【解答】由定义，所以. 当时，是比的高阶无穷小，所以.故选择B. （2）【答案】C. 【解答】C选项， ，所以存在斜渐近线，故选择C. （3）【答案】D. 【解答】令，则, . 若则在上是凸的，又，故当上时，，从而，故选择D. （4）【答案】C. 【解答】, ,故选择C. (5)【答案】D. 【解答】因所以, ,故选择D. （6）【答案】A. 【解答】记互为相反数，故. 由于闭区域上连续函数必有极值，所以在内无极值，则极值在边界上取得.故选择A. （7）【答案】B. 【解答】. 故选择B. （8）【答案】A. 【解答】，记， ，. 若线性无关，则， 故线性无关，所以，线性无关是向量组线性 无关的必要条件；反之，未必成立，例如取，线性无关，虽然， 线性无关，却线性相关，故选A. 二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸指定位置上． (9)【答案】. 【解答】. （10）【答案】. 【解答】由于，所以，又为奇函数，故，代入方程可得,故，又是周期为的奇函数，则. （11）【答案】. 【解答】对方程两边同时对求偏导数得 当时，，故,故. （12）【答案】. 【解答】由直角坐标和极坐标的关系 于是对应于，切线斜率, 所以，从而切线方程为. （13）【答案】. 【解答】质心坐标为,而, ,所以. （14）【答案】. 【解答】 =, 由于二次型的负惯性指数为，故，故. 三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸指定位置上． （15）（本题满分10分） 解： . （16）（本题满分10分） 解：由得， ① 此时方程为可分离变量，通解为,由得； 由①可得，当时，，且有 ， 所以在处取得极小值，在取得极大值，且， 故的极限值为，极大值为. （17）（本题满分10分） 解：如图因为关于对称，由轮换对称性质，则 所以, . （18）（本题满分10分） 解：由可得 ， ， . 由，并把以上式子代入得 ， 即 ， 令 得 ① 特征方程为 ，特征根为，通解. 设方程①的特解，代入方程?得，特解为， 则原方程的通解为，由得 ,则方程为. （19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理，因为， 故； （Ⅱ)， ， 由（Ⅰ)知， 由于单调增加，则， 所以单调不减，则， 取得，即所证结论成立. （20）（本题满分11分） 解：因为,,…, 由数学归纳法可得,所以， ， 从而可知. （21）（本题满分11分） 解：因为，所以为待定函数. 又因为，则，从而 ， 所以对应的方程为， 其所围图形绕直线旋转所成旋转体的体积为 . （22）（本题满分11分） 解：(Ⅰ)对矩阵作初等行变换，可得 ， 则方程组的一个基础解系为. (Ⅱ)对矩阵作初等行变换，有 . 记，则 的通解为， 的通解为， 的通解为， 所以，，为任意常数. （23）（本题满分11分） 证：不妨设，，则， ， 特征值为， ，特征值为， 因为矩阵为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵； 对于矩阵，当时，，所以矩阵对应于特征值有个线性无关的特征向量，所以矩阵可以对角化为，所以二者相似.