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函数的周期性与对称性04728 第5炼函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：不论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定 义域要对于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描绘： 1）对于轴对称（当时，恰巧就是偶函数） 2）对于轴对称 在已知对称轴的状况下，结构形如的等式只需注意两点，一是等式双侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可。比方：对于轴对称，或获取均可，不过在求函数值方面，一侧是更加方便 （3）是偶函数，则，从而可获取：对于轴对称。 ①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，因此在xx，仅是括号xx的一部分，偶函数不过指其xx的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分： 假如偶函数，则：是偶函数中的据有整个括号，因此是指括号内取相反数，则函数值相等，因此有 函数的周期性与对称性04728 ②本结论也可经过图像变换来理解，是偶函数，则对于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），因此对于对称。 在已知对称中心的状况下，结构形如的等式相同需注意两点，一是等式双侧和前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可。 比方：对于中心对称，或获取均可，相同在求函数值方面，一侧是更加方便 （3）是奇函数，则，从而可获取：对于中心对称。 ①要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，因此在xx，仅是括号xx的一部分，奇函数不过指其xx的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分： 假如奇函数，则：是奇函数中的据有整个括号，因此是指括号内取相反数，则函数值相反，因此有 ②本结论也可经过图像变换来理解，是奇函数，则对于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），因此对于对称。 4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得所有”，即一旦函 数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，即可获取整个函数的性质，主要表此刻以下几点： 函数的周期性与对称性04728 1）可利用对称性求得某些点的函数值 2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性获取另一半图像 3）极值点对于对称轴（对称中心）对称 4）在轴对称函数中，对于对称轴对称的两个单一区间单一性相反；在中心对称函数中，对于对称中心对称的两个单一区间单一性相同 （二）函数的周期性 1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数 是一个周期函数，称为的一个周期 2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等 3、假如一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，从而可得： 也是的一个周期 4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，因此在某些周期函数中，常常找寻周期中最小的正数，即称为最小正周期。但是并不是所有的周期函数都有最小正周期，比方常值函数 5、函数周期性的判断： （1）：可得为周期函数，其周期 （2）的周期 函数的周期性与对称性04728 分析：直接从等式下手没法得周期性，考虑等间距再结构一个等式： 因此有：，即周期 注：碰到此类问题，假如一个等式难以推测周期，那么可考虑等间距再列一个等式，从而经过两个等式看可否得出周期 3）的周期分析： 4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得： 5）（为常数）的周期 6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，详细状况以下：（假定） ①若的图像对于轴对称，则是周期函数，周期 分析：对于轴对称 对于轴对称 的周期为 ②若的图像对于中心对称，则是周期函数，周期 函数的周期性与对称性04728 ③若的图像对于轴对称，且对于中心对称，则是周期函数，周期 7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只需认识一 个周期的性质，则获取整个函数的性质。 1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，从而利用已知条件求值 2）图像：只需做出一个周期的函数图象，其他部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴” 3）单一区间：因为间隔的函数图象相同，因此若在上单一增（减），则在上单一增（减） 4）对称性：假如一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为 证明：对于轴对称 函数的周期为 对于轴对称 注：此中（3）（4）在三角函数中应用宽泛，可作为检验答案的方法 二、典型例题： 例1：设为定义在上的奇函数，，当时，，则__________ 函数的周期性与对称性04728 思路：由可得：的周期，考虑将用中的函数值进行表示：，此时周期 性已经没法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：，因此 答案： 例2：定义域为的函数满足，当时，，则（） A.B.C.D. 思路：由，可类比函数的周期性，因此考虑将向进行转变： 答案：D 有话说：固然不是周期函数，但函数值关系与周期性近似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关