2022年人教A版高中数学选择性必修第三册同步培优第七章随机变量及其分布列第5节正态分布.docVIP

第七章　7.5 A　组·素养自测 一、选择题 1．(2021·山西运城)某工厂生产的零件外直径(单位：cm)服从正态分布N(10,0.04)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75 cm和9. A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常 C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常 [解析]　∵零件外直径X～N(10,0.04)，∴根据3σ原则，产品外直径在(10－3×0.2,10＋3×0.2)即(9.4，10.6)之外时为异常．∵9.4＜9.75＜10.6,9.35＜9.4，∴可认为上午生产情况正常，下午生产情况异常，故选B． 2．已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，若X落在区间(－2，－1)和(1,2)的概率分别为p1，p2，则(　C　) A．p1＞p2 B．p1＜p2 C．p1＝p2 D．不确定 [解析]　易知标准正态分布密度曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2． 3．(2021·湖北省沙市)设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞m－1)＝P(X＜2m＋1)，则m＝(　B A．eq \f(2,3) B．eq \f(4,3) C．eq \f(5,3) D．2 [解析]　∵P(X＞m－1)＝P(X＜2m＋1)，∴m－1＋2m＋1＝4，解得m＝eq \f(4,3)，故选B． 4．(多选题)设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是(　ABD　) A．P(|X|＜a)＝P(|X|＜a)＋P(|X|＝a)(a＞0) B．P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0) C．P(|X|＜a)＝1－2P(X＜a)(a＞0) D．P(|X|＜a)＝1－P(|X|＞a)(a＞0) [解析]　服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确．X～N(0,1)，μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，P(|X|＜a)＋2P(X＞a)＝1．又P(X＞a)＋P(X＜a)＝1，所以P(|X|＜a)＋2[1－P(X＜a)]＝1，即P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)，所以B正确，C错误．P(|X|＜a)＋P(|X|＞a)＝1(a＞0)，D正确，故选ABD． 5．(2021·湖北省黄冈市模拟)某市高三学生有30 000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ( 单位：分)服从正态分布N(100，σ2)，已知P(80＜ξ≤100)＝0.45，若用分层抽样的方法取200份试卷对成绩进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取(　B　) A．5份 B．10份 C．15份 D．20份 [解析]　由题意易知P(ξ＞100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80＜ξ≤100)＝0.45．∴P(ξ＞120)＝P(ξ＞100)－P(100＜ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10． 二、填空题 6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝__0.2__时达到最高点． [解析]　由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2． 7．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为__1__． [解析]　正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1． 8．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，若全市重点校录取率为40%，那么重点录取分数线可能划在__505__分(已知Φ(0.25)＝0.6)． [解析]　∵平均成绩μ＝480，标准差σ＝100，总体服从正态分布，∴X～N(480,1002)．设重点录取分数线可能划在f分，则P(X≥f)＝1－P(X＜f)＝1－Φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(f－480,100)))． 又Φ(0.25)＝0.6，∴eq \f(f－480,100)＝0.25， ∴f＝505分． 三、解答题 9．(2021·山西陵川高三月考)已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72≤X≤88)≈0