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二、多边形的内角和与外角和 知识点一多边形的有关概念1、多边形：称为n边形，又称为多边形。 称为它的边；叫做内角；外角、顶点的概念与三角 形一样。多边形有几条边就称为几边形。 注意：多边形分为凸多边形（即把每条边延长，其它边都在这条边所在直线的同侧）和凹四边形，现在只研 究凸多边形。 2、正多边形：如果, ,那么就称它为正多边形。 注意：正多边形必须同时具备各边都相等，各内角也都相等这两个条件，二者缺一不可。如长方形四个角相 等，但不是正方形；菱形四条边相等，但也不是正方形。 3、多边形的对角线：叫做多边形的对角线。 问题探究：过n边形一个顶点可引出几条对角线？这些对角线把n边形分成几个三角形？ n边形共有几条对角线？为什么？ 多边形边数 三角形 四边形 五边形 六边形 ?????? n边形 图形 3 从一个顶点引 出的对角线 ?????? 把多边形分成 的三角形 ?????? 由上表知从多边形一个顶点引出的对角线是（n-3）条，n边形共有n个顶点，但从第i个顶点向第i+2个顶 点引出的对角线与从第i+2个顶点向第i个顶点引出的对角线是同一条对角线，所以n边形共有1/2n（n-3） 条对角线。 知识点二多边形的内角和与外角和 1、多边形内角和定理： 多边形的边数 3 4 5 6 n 从一个顶点引出的对角线 分成的三角形个数 多边形的内角和 推导方法： （1）对角线法：结合右图可完成下表: ⑵其它方法: ①如图在多边形内任取一点，该点和多边形各个顶点的连线把多A An 边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去一个周角就得/L7、A6到多边形的内角和，即 nX180。-360° =（n-2）X180° .\ ②如图在多边形的一边上取一点，连结该点和各个顶点，这样把 \ /°\ 多边形分成（n-l）个三角形，这（n-l）个三角形的内角和减去A?——七/一个平角就是多边形的内角和，即（n-1）X180。-180°=（n-2）X180°.① 2、多边形的外角和：从与每个内角相邻的 ，得到的和称为多边形的外角和。 3、多边形外角和定理：。 推导方法：因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于n?180。，故n 边形的外角和等于n ? 180。-（n-2） - 180°=360。. 重点剖析 （1） n边形的内角和与边数,每增加一条边，内角和增加° ;而任意n边形的外角和 都等于° ,与边数; （2）正n边形的每个内角都相等，都等于;正n边形的每个外 角也都相等，都等于 o （3） n边形有 个外角，但外角和只是在每个顶点处取 外角的和。 例题分析题型一多边形的有关概念 例1、以下说法正确的选项是（）A.五条长度相等的线段首尾顺次连结所构成的图形是五边形； B.正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形；C.从n边形的一个顶点可以引出（n-3）条对角线，所以n边形共有n（n-3）条对角线; D.n边形的内角和公式的推导是通过把n边形化归为三角形内角和加以解决的，这种化归思想是解决多边形问题的重要思想方法。 例2、①假设凸n边形的内角和为1260° ,那么从一个顶点引出的对角线条数是 ②一个n边形恰好有n条对角线，求边数n. 题型二 多边形内角和与外角和定理的应用例3、一个正n边形的每个内角都等于144。，求它的边数。 例4、一个多边形的每个外角都等于相邻内角的三分之一，求它的边数。 例5、一个多边形的内角和与外角和的总和为2520。，求它的边数。 例6、两个多边形的内角总和是900。，且边数之比是1:2,求这两个多边形的边数。 练习：1、如果一个n边形的内角和是外角和的（n-3）倍，那么这个多边形为 边形。 2、在四边形ABCD中，NB, NC的外角分别为80。，92。，并且NA比ND大11。，求四边形各内角的度数. 3、多边形的每一个内角都比与它相邻的外角的3倍多20。，求此多边形的边数. 4、如图，五边形 ABCDE 中，AB〃CD, Zl, Z2, Z3 分别是 NBAE, ZAED, ZEDC 的外角，那么 N1+N2+N3 等 于. 题型三 与多边形内角和、外角和有关的探究性问题例7、多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1205° , 例8、多边形的内角和与某一个外角度数的总和为1350。， 求这个外角的度数和多边形的边数。 例9、一个多边形截去一个角后所形成的新多边形的内角和是2520。，求原多边形的边数。 题型四求不规那么图形的内角和如图，求NA+NB+NC+ND+NE+NF 如图，求NA+NB+NC+ND+NE+NF 的度数。 如图，求NA+NB+NC+ND+NE+NF 的度数。如图，求NA+NB+NC+ND+NE+NF+NG+NH+NI 的度数。练习:5、如下图 如