八年级数学上册 14.3 实数 了解及掌握数系素材 （新版）冀教版.docVIP

PAGE 1 可修改 欢迎下载 了解及掌握数系 数系通常指包括自然数、整数、有理数、实数和复数的系统。 数的观念具有悠久的历史，尤其是自然数的观念，产生在史前时期，详情已难于追索，但对数系建立严谨的理论根底，那么是19世纪下半期才完成。 自然数 建立自然数概念通常有基于基数与基于序数两种方法。 基于基数的自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。现在使用的英语calculate〔计算〕一词是从希腊文calculus〔石卵〕演变来的。中国古代?易·系辞?中说，上古结绳而治，后世圣人易之以书契，这都是匹配计算法的反映。 集合的基数具有元素“个数〞的意义，当集合是有限集时，该集合的基数就是自然数。由此可通过集合的并、交运算定义自然数的加法与乘法〔见算术〕。 为了计数，必须有某种数制，即建立一个依次排列的标准集合。随后对某一有限集合计数。就是将该集合中每个元素顺次与标准集合中的项对应，所对应的最后的项，就标志着给定集合元素的个数。这种想法导致G.皮亚诺1889年建立了自然数的序数理论。 皮亚诺规定自然数集满足以下五条公理，这里“集合〞、“含有〞、“自然数〞、“后继〞等是不加定义的。 ① 是自然数。 ② 不是任何其它自然数的后继。 ③ 每个自然数都有一个后继〔a的后记为a/〕 ④ a/=b/蕴含a=b ⑤ 设S是自然数的一个集合。如果S含有1，且S含有a 蕴含S含有a/ ，那么S含有任何自然数。 公理⑤就是熟知的数学归纳法公理。一切自然数集记为{1， 2 ， 3 ，…，n …}，简记为N。 从上述公理出发，可以定义加法和乘法，它们满足交换律与结合律，加法与乘法满足分配律。 整　数 在自然数集N之外，再引入新的元素0，－1，－2，－3，…，－n，…。称N中的元素为正整数，称0为零，称1，－2，－3，…，－n，…。为负整数。正整数、零与负整数构成整数系。 零不仅表示无，它在命数法中还个有特殊的意义：表示空位的符号。中国古代用算筹计数并进行运算，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四那么运算创造良好条件。印度－－阿拉伯命数法中的零来自印度的零〔sunya〕字，其原意也是空或空白。 中国最早引入了负数。?九童算术·方程?中论述的“正负术〞，就是整法的加减法。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然数，那么方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。 关于整数系的严格理论，可用下述方法建立。在N×N〔即自然数有序对的集〕上定义如下的等价关系：对于自然有序对〔a1，b1〕，〔a2，b2〕，如果a1+b2= a2+b1，就说〔a1，b1〕～〔a2，b2〕，N×N，关于上述等价关系的等价类，称为整数。一切整数的集记为Z。 有　理　数 古埃及人约于公元前17世纪已使用分数，中国?九童算术?中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q〔p≠0〕，如果p，q是整数，那么方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。 关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×〔Z －{0}〕即整数有序对〔但第二元不等于零〕的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z － {0}，如果p1q2=p2q1。那么称〔p1，q2〕～〔p2，q1〕。Z×〔Z －{0}〕关于这个等价关系的等价类，称为有理数。〔p，q〕所在的有理数，记为。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于 ，即〔p，1〕所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。 引起数学危机的无理数 理数，顾名思义，与有理数相对。那么它就是不能表示为整数或两整数之比的实数，比方 等等。如果不作数学计算，在实际生活中，我们是不会碰到这些数的。无论是度量长度，重量，还是计时。 第一个被发现的无理数 ，当时，毕达哥拉斯学派的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时〔假设1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中项〕，怎么也想不出这个比例中项值。后来，他画一边长为1的正方形，设对角线为X，于是 。他想，X代表对角线长，而 ，那么X必定是确定的数。但它是整数还是分数呢？显然，是1和2之间的数，因而X应是1和2之间的数，因而不是整数。那么X会不会是分数呢？毕达哥拉斯学派用归谬法证明了，这个数不是有理数，它就是无理数 。无理数的发现，对以整数为根底的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事必威体育官网网址，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人们很快发现了等更多的无理数 ，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。 无理