八年级数学上册 13.4《课题学习 最短路径问题》点悟“等腰三角形性质”素材 （新版）新人教版.docVIP

PAGE 1 可修改 欢迎下载 点悟“等腰三角形性质〞 【根底知识精讲】 等腰三角形是一种特殊的三角形,是我们重点研究的几种三角形之一.它具有一些特殊性质: 1.两个底角相等(简写为“等边对等角〞) 2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. 其中，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，这一性质叫做等腰三角形的“三线合一〞。 这两个性质用几何语言表述为： 在△ABC中，如图，∵AB＝AC ∴∠B＝∠C〔等边对等角〕 在△ABC中，如图 〔1〕∵AB＝AC ，∠1＝∠2 ∴AD⊥BC，BD＝DC 〔等腰三角形三线合一〕 〔2〕∵AB＝AC，BD＝DC ∴AD⊥BC，∠1＝∠2〔等腰三角形三线合一〕 〔3〕∵AB＝AC，AD⊥BC ∴BD＝DC，∠1＝∠2〔等腰三角形三线合一〕 等腰三角形的性质定理1揭示了三角形中边与角的转化关系，由两边相等转化为两角相等，是今后证明两角相等的重要依据之一，等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一〞的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据. 【重点难点解析】 本节研究的重点是在对等腰三角形性质的掌握与灵活应用上，利用性质，结合三角形有关知识及全等三角形判定及性质解决相关问题. 难点是掌握等腰三角形中常用的辅助线： 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时那么需要选择其中一条，这要视情况而定，如果作的不适宜，可能使证明变得复杂，甚至很难证明，注意在做题时分析总结规律. 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2. 【典型应用指南】 〔1〕计算角的度数 　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。 ①角的度数，求其它角的度数； 例1. 等腰三角形一个外角为110°,求三内角度数. 分析 此题利用三角形内角和及等腰三角形性质等边对等角，但要注意此题中外角是顶角的外角，还是底角的外角，在两种不同位置时，求得的结果不一样，此题有两解. 解 ∵等腰三角形 ∴两底角相等，设顶角为x，底角为y，那么x+2y=180° (1)当顶角的外角为110°时，顶角的外角等于两底角之和 ∴2y=110°求得 (2)当底角的外角为110°时，底角y=180°-110°=70°求得 ∴三内角为70°,55°,55°或40°，70°，70° ②条件中有较多的等腰三角形〔此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组〕； 例2.如图，△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB。求∠A的度数。 分析：此题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。 解：设∠A=x ，∠EBD=y，∠C=z ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C=z ∵BD=BC ∴∠C=∠BDC=z ∵BE=DE ∴∠EBD=∠EDB=90° ∵AD=DE ∴∠A=∠AED=x 又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB 〔三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和〕 ∠A+∠ABC+∠ACB=180°〔三角形内角和为180°〕 ∴ 解得x=45° 即：∠A=45° 〔2〕证明线段或角相等； 例3.在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC的关系，并说明你的猜想的理由. 分析：首先根据数学语言画出几何图形，然后进行归纳、猜想、推理. 解：猜想：AE⊥BC，BD＝CD ∵AB＝AC() OB＝OC() AO＝AO〔公共边〕 ∴△ABO≌△ACO〔SSS〕 ∴∠BAO＝∠CAO ∴AE⊥BC，BD＝CD〔等腰三角形底边上中线，底边上高线与顶角平分线互相重合〕