高二数学下册教案等比数列的前n项和.pdfVIP

§2.3.3等比数列的前n项和 教学难点： 应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题． 教学过程： 一．材料： 数学小故事：国际象棋起源于印度。棋盘上共有8行8列构成64个格子。 传说国王要奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求，发明者说：“请在棋盘的 第1个格子里放上1颗麦粒，在棋盘的第2个格子里放上2颗麦粒，在棋盘的第 3个格子里放上4颗麦粒，在棋盘的第4个格子里放上8颗麦粒，以此类推，每 个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。 请给我足够的粮食来实现上述要求。” 国王觉得这并不是很难办到的,就欣然同意了他的要求. 你认为国王有能力满足发明者上述要求吗? 问题1：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍,且共有64 个格子,各个格子里的麦粒数依次是： 1，2，4，8，„，263 问题2：这是什么数列？等比数列 62 63 问题3：那麦粒总数是多少呢？1+2+4+„+2 +2 。 即求以1为首项，2为公比的等比数列的前64项的和， 前64项和可表示为： 62 63 ， ① S 1248 2 2 64 问题4：该等比数列的前后两项有怎样的关系？ 因为公比是2，所以后项是前项的两倍， 1 2 63 64 ， ② S 248162 2 64 由①－②可得：－ 64 ．即 64 。 S 12 S 2 1 64 64 这种求和方法称为“错位相法”，“错位相减法”是研究数列求和的一个重 要方法． 二、等比数列前n项和公式的推导 一 般 地 ， 设 等 比 数 列 a,a a ,a  它 的 前 n 项 和 是 1 2 3 n S a  a  a  a， n 1 2 3 n S a a a  a ，  2 n2 n1  S a aqaq  aq aq ， 由 n 1 2 3 n 得 n 1 1 1 1 1 n1 2 3 n1 n a aq ． qS aqaq aq  aq aq ． n 1 n 1 1 1 1 1 n a a q a (1q ) (1q)S a aqn ． ∴当q1时，S  1 或S  1 n ． n 1 1 n 1q n 1q 当q＝1时，S na