椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)(2).docVIP

（一）椭圆的定义： 1、椭圆的定义：平面内与两个定点 F,、F2的距离之和等于定长（大于 厅汀2|）的点的 轨迹叫做椭圆。这两个定点 Fi、F2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离| RF2 |叫做椭圆的 焦 距。 对椭圆定义的几点说明： （1）? ? “在平面内”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球 面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点”? ? ，学习时注意区分； （3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| FiF2|这个条件。若不然， 当这个“常数”等于| FiF2|时，我们得到的是线段 F1F2；当这个“常数”小于| FiF2|时，无 轨迹。这两种特殊情况，同学们必须注意。 （4）? ? 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为? ? A, A2，Bi, B2，于是我们易得| AiAz| 的值就是那个“常数”，且|B2F2| |B 2FJ、|BiF2| |B iFi|也等于那个“常数”。同学们想一想 其中的道理。 0 l 一 J 甩 （5）中心在原点、焦点分别在? ? x轴上，y轴上的椭圆标准方程分别为： 2? ? 2 2? ? 2 2? ? 2 i （a b 0）,2? ? 2 i （a b 0）, 相同点是：形状相同、大小相同；都有? ? a b 0? ? ，a2 c2 b2。 不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，? ? 它们的焦点坐标也不同? ? （第一个椭圆的 焦点坐标为（一c, 0）和（c, 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c）和（0, c）。椭圆的 焦点在x轴上? ? 标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在 y轴上? ? 标准方程中y2项 的分母较大。 （二）椭圆的几何性质： 椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只 要二 2i （a b 0）的有关性质中横坐标x和纵坐标y互换，就可以得出 a b 2? ? 2 ^7? ? i （a b 0）的有关性质。总结如下： 方程 疋T扑 1〔心心tn 严 召 h1 L AP\ J ). 少x fil \f*L/ —Kt曲 1 关丁片軸?加曼标靡恵时称 梵于才轴?孑粕樂标靠点对称 Ai f ~u j ) C a iO) Af (Op — J ci) r—— 几点说明: (1)长轴：线段 AlA，长为2a ；短轴：线段 B1B2，长为2b ；焦点在长轴上。 (2) 由于e — a 对于离心率e,因为ac0，所以0e1,离心率反映了椭圆的扁平程度。 ,所以e越趋近于1, b越趋近于0,椭圆越扁平；e 越趋近于0，b越趋近于a，椭圆越圆。 e = cos (3)观察下图， QB2I b,|OF2| c,所以IB2F2I a，所以椭圆的离心率  / OF2B   (3)直线与椭圆: 0 ( A、B不同时为0) 2 椭圆C : -2 那么如何来判断直线和椭圆的位置关系呢？将两方程联立得方程组, 个数来判断直线和椭圆交点的情况。方法如下： 通过方程组的解的 Ax By C 0 2? ? 2 y_ 1 a b 消去y得到关于x的一元二次方程，化简后形式如下 (1) 当? ? 0时，方程组有两组解，故直线与椭圆有两个交点； (2) 当? ? 0时，方程组有一解，直线与椭圆有一个公共点(相切) (3) 当? ? 0时，方程组无解，直线和椭圆没有公共点。 注：当直线与椭圆有两个公共点时，设其坐标为? ? A(x,,y,),B(x2,y2)，那么线段AB的 长度(即弦长)为|AB| (为X2)2(% y2)2，设直线的斜率为k， 根或用韦达定理求出。 典型例题一 例1椭圆的一个顶点为 A 2,0，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程. 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置. 解：(1 )当A 2,0为长轴端点时，a 2 , b 1, 椭圆的标准方程为： 2 2 X y 1; 4 1 2 2 椭圆的标准方程为：? ? —? ? 1; 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置, 是不能确定椭圆 说明：椭圆的标准方程有两个, 的横竖的，因而要考虑两种情况. 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率. 2 a 1 2 2 2c 2 - ??? 3c a c 3 解: 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求? ? a，求c，再求比?二是列 含a和c的齐次方程，再化含 e的方程，解方程即可. 典型例题三 例3已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线 x y 1? ? 0交于A