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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟172 一、选择题问题:1. 使函数f(x)=x3+ax+b在区间(-∞，+∞)内只有一个零点x0(且x0＜0)的常数a，b的取值范围是______A.a＜0，b＜0．B.a≥0，b＜0．C.a＜0，b＞0．D.a≥0，b＞0．答案:D[解析] 本题考查函数零点问题——见到函数零点或方程实根以及两曲线交点的问题，就要先找函数再定区间，然后用零点定理．若还要研究个数，则必用函数的单调性及极(最)值处理． 解 因f(x)在(-∞，+∞)内连续，，，故由零点定理可知f(x)在(-∞，+∞)内至少有一个零点．  又f(x)=3x2+a，为使f(x)只有一个零点，需a≥0(保证f(x)单调)，而零点x0＜0，f(0)=b，故只要b＞0．  注 上述结果“a≥0，b＞0”只是f(x)在(-∞，+∞)内只有一个负零点x0的充分条件． 问题:2. 下列命题 ①设有相同的收敛域(-R，R)，则的收敛域为(-R，R)， ②设的收敛域分别为[-1,1)，(-2，2)，则的收敛域为[-1，1)， ③若幂级数的收敛区间(-R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[-R，R]， ④若幂级数的收敛域为[-R，R]，则幂级数的收敛域为[-R，R] 中正确的是______ A.①②．B.②③．C.③④．D.①④．答案:B[解析] 由选项可知，这四个命题中有两个正确，两个错误． 方法1° 命题①是错误的．如的收敛域均为(-1，1)，但的收敛域为(-2，2)． 命题④也是不正确的，如的收敛域为[-1，1]，但的收敛域为[-1，1)．因此，由排除法知，应选B． 方法2° 命题②是正确的，因为由级数的线性性质可知，在[-1，1)收敛，在(-2，-1)∪[1，2)必发散，再由幂级数收敛性的特点，在(-∞，-2]∪[2，+∞)也一定发散，因此收敛域是[-1，1)．  命题③也是正确的．事实上，若取，则它的收敛区间即收敛域为(-1，1)，而的收敛域为[-1，1]．故应选B．问题:3. 设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则Z=min(X，Y)的分布函数是______A.FZ(z)=FX(x)．B.FZ(z)=FY(y)．C.FZ(z)=min{FX(x)，FY(y)}．D.FZ(z)=1-[1-FX(x)][1-FY(y)]．答案:D问题:4. 函数y=f(x)满足条件f(0)=1，f(0)=0，当x≠0时，f(x)＞0，则它的图形是______ A．  B．  C．  D． 答案:B[解析] 因函数单调增加，且在x=0处有水平切线，选B．问题:5. 设，则______ A．1．  B．0．  C．-1．  D． 答案:D[解析] 先求出f(x，y)的表达式，为此令u=x+y，，从而解得，代入题设中  故 问题:6. 已知试验E1为：每次试验事件A发生的概率都是p(0＜p＜1)，将此试验独立重复进行n次，以X1表示在这，n次试验中A发生的次数．试验E2为：第i次试验事件A发生的概率为pi(0＜pi＜1，i=1，2，…)，将此试验独立进行n次，以X2表示在这n次试验中A发生的次数，如果，则______A.EX1＜EX2．　B.EX1=EX2．C.EX1＞EX2．D.以上结论都不对．答案:B[解析] 由题设知np=pi，X1～B(n，p)，故EX1=np=pi，对试验E2而言，若(i=1，2，…，n)，则，X2=Yi，EX2=EYi=pi=np=EX1，选择B．问题:7. 已知，η1是A属于特征值λ1=-1的特征向量，η2和η3是A属于特征值λ2=λ3=4的特征向量，那么矩阵P不能是______A.(-η1，η2，-η3)B.(2η1，η2-η3，2η2+3η3)C.(η1，-η3，η2)D.(η1-η2，η1+η2，η3)答案:D[考点] 使矩阵A相似对角化的可逆矩阵的性质．[解析] ，记P=(η1，η2，η3)，左乘P，得．按列分块写成(Aη1，Aη2，Aη3)=(λ1η1，λ2η2，λ3η3)．即P的列向量ηi应是A属于特征值λi(i=1，2，3)的特征向量．A，B，C均正确． D不正确．η1，η2是A分别属于不同特征值λ1=-1，λ2=4的特征向量，从而η1-η2，η1+η2不再是A的特征向量．因此P不能取作(η1-η2，η1+η2，η3)．应选D． 问题:8. 设在(-∞，+∞)内连续，且．则常数a，b