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[研究生入学考试题库]考研数学一模拟562 一、选择题(下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)问题:1. 设函数f(u)有连续导数，且f(0)=0，Ω为x2+y2+z2≤t2，则 A．f(0)．  B．f(0)．  C．πf(0)．  D． 答案:C[解析] 问题:2. 设f(x)连续，且当x→0时，是与x3等价的无穷小量，则f(0)=______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 由等价无穷小的定义，得  从而有  问题:3. 设级数收敛，则______ A．必收敛． B．必收敛． C．必收敛． D．必收敛．答案:C[解析] 因为收敛，所以也收敛，将此两级数逐项相加所成的级数也收敛．也可以举例说明A，B，D均不正确． 设收敛，但发散．不选A． 设收敛，但，由发散，推知发散．不选B． 设，而发散， 所以发散，从而发散，不选D．问题:4. 二次积分可以写成 A． B． C． D． 答案:D[解析] 由题意，积分区域在直角坐标系表示为  即是由与y轴围成的图形(如下图)．它在极坐标系中表示为  问题:5. 下列二次型中，正定二次型是______A.f1(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x1)2．B.f2(x1，x2，x3，x4)=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．C.f3(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3-x4)2+(x4+x1)2．D.f4(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2．答案:D[解析] 法一 A存在x1=(1，1，1，1)T，使得f1(x1)=0，f1不正定． B存在x2=(1，-1，1，-1)T，使得f2(x2)=0，f2不正定．  C存在x3=(1，1，-1，-1)T，使得f3(x3)=0，f3不正定．  由排除法知，应选D．  法二 对D，f4(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2，  即 其中 故x=C-1y是可逆线性变换，则由知，f4是正定二次型． 法三 f4(x1，x2，x3，x4)=(x1-x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4+x1)2   其中，D是可逆矩阵． 故知A=DTD是正定矩阵，f4是正定二次型．  法四 写出各二次型的对应矩阵，用顺序主子式是否都大于零来判别，请读者自行计算． 问题:6. 设n维向量α1，α2，α3满足α1-2α2+3α3=0，对任意的n维向量β，向量组α1+aβ，α2+bβ，α3线性相关，则参数a，b应满足条件______A.a=b．B.a=-b．C.a=2b．D.a=-2b答案:C[解析] 法一 因α1，α2，α3满足α1-2α2+3α3=0， (*) 要求向量组α1+aβ，α2+bβ，α3线性相关，其中β是任意向量．利用式(*)，取常数k1=1，k2=-2，k3=3，  对向量组α1+aβ，α2+bβ，α3作线性组合，得  (α1+aβ)-2(α2+bβ)+3α3=α1-2α2+3α3+(a-2b)β=(a-2b)β．  故当a=2b时，对任意的n维向量β均有α1+aβ-2(α2+bβ)+3α3=0．  即a=2b时，α1+aβ，α2+bβ，α3对任意β线性相关．故应选C．  法二 α1+aβ，α2+bβ，α3线性相关．对矩阵(α1+aβ，α2+bβ，α3)作初等列变换(不改变秩)有 (α1+aβ，α2+bβ，α3)→(α1+aβ，α2+bβ，α1+aβ-2(α2+bβ)+3α3)   故a=2b时，r(a1+aβ，α2+bβ，α3)≤2，即对任意的n维向量β，有α1+aβ，α2+bβ，α3线性相关，应选C． 问题:7. 设C为正向：，则与的值分别为______A.0与0．B.0与8．C.8与0．D.8与8．答案:C[解析] 前者用格林公式：  后者直接用第一类曲线积分计算：   由对称性可推出I2=0． 问题:8. 设级数收敛，则级数______．