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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟456 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。问题:1. 设f(x)是以3为周期的可导的奇函数，且f(-1)=1，则 A．-4  B．4  C． D． 答案:C[考点] 本题考查函数可导的定义。可导的奇函数的导数是偶函数，周期也相同，故根据这些条件凑可导的形式即可。[解析] 已知f(x)是以3为周期的可导的奇函数，则f(x)是以3为周期的偶函数，即f(-1)=f(2)=1，则 问题:2. 设，g(x)在x=0处连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)。又F(x)=f[g(x)]，则F(0)=______A.4eB.4C.2D.2e答案:A[考点] 本题考查极限的定义，变限积分及复合函数求导法则，关键是求出g(0)的值。[解析] 先求g(0)，由g(x)在x=0处连续及g(x)=1+2x+o(x)，可得。因此，。由复合函数及变限积分求导法得。问题:3. 下列函数在指定区间上不存在原函数的是______ A．  B．  C．  D． 答案:B[考点] 本题考查原函数存在的定义，连续函数或含有第二类间断点的函数，则存在原函数，含有第一类间断点的函数不存在原函数。[解析] C、D两项中的函数在定义区间上均连续，因而存在原函数。A、B两项中的函数除点x=0外在定义域内均连续，而x=0是他们的间断点。A项中x=0是函数f(x)的第二类间断点，B项中x=0是函数的第一类间断点。问题:4. 函数f(x)在区间(-1，1)内二阶可导，已知f(0)=0，f(0)=1，且当x∈(-1，1)时f(x)＞0成立，则______A.当x∈(-1，0)时f(x)＞x，当x∈(0，1)时f(x)＜x。B.当x∈(-1，0)时f(x)＜x，当x∈(0，1)时f(x)＞x。C.当x∈(-1，0)与x∈(0，1)时f(x)＞x。D.当x∈(-1，0)与x∈(0，1)时f(x)＜x。答案:C[考点] 本题考查函数的凹凸性和切线的性质。[解析] 由题意知，y=f(x)在原点处的切线方程为y=x，而曲线y=f(x)在区间(-1，1)内是凹弧，由凹弧与某点处切线的位置关系知C项正确。问题:5. 下列微分方程中，以y=c1ex+c2e-xcos2x+c3e-xsin2x(c1，c2，c3为任意常数)为通解的是______A.y+y+3y-5y=0B.y+y+3y+5y=0C.y-y-3y+5y=0D.y-y+3y-5y=0答案:A[考点] 本题考查齐次线性微分方程通解的结构，根据通解的形式求出特征根，进而还原方程即可。[解析] 由题目已知条件可知齐次微分方程的特征方程的三个根分别为r1=1，r2，3=-1±2i,则特征方程为(r-1)[(r+1)2+4]=0，即r3+r2+3r-5=0，故齐次微分方程为y+y+3y-5y=0。问题:6. 设A.1B.2C.-1D.0答案:D[考点] 本题考查二元函数偏导数的求解，对其中一个变量求偏导，把另一个变量当作常数，因此求x的二阶偏导，把y看作常数即可。[解析] 由定义 。问题:7. 设A，B为3阶可逆矩阵，A，B相似，且|A-3E|=0，λ1=1，λ2=2是矩阵A的两个特征值，则|B-1-2AB-1|=______ A．  B．  C．  D． 答案:B[考点] 本题考查相似矩阵的幂，逆矩阵的性质和伴随矩阵。首先结合|A-3E|=0可得出矩阵A和B的所有特征值，利用矩阵行列式等于矩阵所有特征值乘积的性质即可计算|B-1-2AB-1|。[解析] 根据|A-3E|=0可知λ=3是矩阵A的一个特征值，因此A的所有特征值为1，2，3。已知A和B相似，因此B的特征值也是1，2，3。E-2A的特征值分别为1-2×1=-1，1-2×2=-3，1-2×3=-5。因此 |E-2A|=(-1)×(-3)×(-5)=-15，|B|=λ1λ2λ3=1×2×3=6，  故 问题:8. 已知，则A*=______ A． B． C． D． 答案:C[考点] 本题考查矩阵的幂和逆矩阵的性质。该题可以用两种方法解，第一种方法，先将矩阵A化简到最终的形式，利用初等变换法求其逆矩阵；第二种方法，先将A中的两个矩阵的幂算出结果，再利用(ABC)-1=C-1B-1A-1求A的逆矩阵。[解析] 因为，所以 。 又因为， 于是，则  故。二、填空题问题:1. 答案:0[考点