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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟228 解答题问题:1. 计算积分．答案:解1：  第二积分中，令，则  解2：令，则  故I=0．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:2. 函数在(0，0)点的极限存在吗?若存在，则求其值．答案:解：不存在；可考虑沿路径x=my2的极限(m取不同的实数)．[考点] 多元函数微分学二次型经过正交变换化为标准形，求：3. 常数a，b； 答案:解：令  则 f(x1，x2，x3)=xTAx 由其标准形可知，A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=-4，由  得  解得． 从而，特征值为λ1=λ2=5，λ3=-4．[考点] 二次型4. 正交变换的矩阵Q. 答案:解：将λ1=λ2=5代入(λE-A)x=0，解得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为； 将λ3=-4代入(λE-A)x=0，解得λ3=-4对应的线性无关的特征向量为． 令  单位化得  所求的正交变换矩阵为 [考点] 二次型设A=E-2ξξT，其中，ξ=(x1，x2，…，xn)T，且ξTξ=1．证明：5. A是对称矩阵；答案:证明：AT=(E-2ξξT)T=ET-2(ξξT)T=A，故A是对称矩阵．[考点] 矩阵、向量、方程组6. A2=E；答案:证明： A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-2ξξT-2ξξT+4ξξTξξT  =E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E[考点] 矩阵、向量、方程组 7. A是正交矩阵．答案:证明：由上两个小题知，AT=A，A2=E，得AAT=E，故A是正交矩阵．[考点] 矩阵、向量、方程组问题:8. 设f(x)在(-∞，+∞)上连续，且，证明：f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值．答案:证明：显然f(x)在闭区间[-10010，10086]上能取到最小值m，即存在a∈[-10010，10086]，使得f(a)=m． 由于，则对任意的M＞|m|，分别存在G1＞10086和G2＜-10010，使得当x＞G1或x＜G2时，有f(x)＞M＞|m|，由此可得f(x)在(-∞，+∞)上能取到最小值，且等于f(x)在[G2，G1]的最小值．[考点] 连续、导数、微分(Ⅱ)问题:9. 解下列矩阵方程 答案:解：此矩阵方程可以写成 (En+H+H2+…+Hn-1)X=(En+2H+3H2+…+nHn-1) ① 其中． 由于 (En-H)(En+H+H2+…+Hn-1)=En-Hn=En 给式①两端左乘(En-H)，得 [考点] 矩阵、向量、方程组问题:10. 求．答案:解1：拆分区间[0，1]．，对任意的，0≤1-x2＜1，故，当n＞N时，，则  所以． 解2： 由结论及夹逼准则知[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:11. 设f(x)在[a，b]上有二阶连续导数．试证：，使得 答案:证1：记．注意到  且F(x)存[a，b]上三阶可导．故只需将上题中的函数f(x)换为F(x)即证得本题结论． 证2：将函数在点处按泰勒定理展开，记，则  其中ξ，η∈(a，b)．而  由于f(x)连续，则利用连续函数及介值性定理，，使得  代入②即得欲证的式①． 注 本题的证2几乎完全类似于上题中的证法2，实际上，若条件只假设f(x)存在，亦可由导数的介质性定理(达布定理)得证． 证3：记，在泰勒展开式  的两端同时在[a，b]上积分(ξ介于x与x0之间)．注意  由广义的第一积分中值定理知，，使得  (请读者思考为什么这里不能直接把f(ξ)提出去，而要用广义的第一积分中值定理)，因此式①成立．[考点] 一元函数微积分问题:12. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量，r(A)=3，且α1+α2=(1，-1，3，2)T，α2+α3=(-2，4，2，-8)T，求Ax=b的通解．答案:解：由于A的列数为4，r(A)=3，所以可设Ax=b的通解形式为kξ+η，其中ξ为对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，η为Ax=b的一个特解，不妨设  于是Ax=b的通解