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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟454 一、选择题(每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．)问题:1. 设则______A.a=1，b=1．B.a=1，b=-1．C.a=-1，b=1．D.a=-1，b=-1．答案:B[解析] 由于  故1-a=0，a+b=0，所以B正确． 问题:2. 当x→0时，是关于x的n阶无穷小，则n=______A.1．B.2．C.3．D.4．答案:C[解析]  故n=3，C正确． 问题:3. 曲线的渐近线的条数为______A.0．B.1．C.2．D.3．答案:D[解析] 由于   故y=1，y=-1为曲线的两条水平渐近线，x=0为曲线的铅直渐近线，曲线没有斜渐近线，故D正确． 问题:4. 设其中n为大于2的正整数，则______A.I1＜I2＜I3．B.I1＞I2＞I3．C.I1＜I3＜I2．D.I2＜I3＜I1．答案:B[解析] 由于  故   又由于   故I1＞I2＞I3，B正确．  【注】 本题由于sinx≤1，因此可以直接比较被积函数的大小，从而确定I1，I2，I3的大小关系． 问题:5. 设则f(x)在(-∞，+∞)上______A.连续．B.可导．C.有界．D.无界．答案:C[解析]  又由于   且|sinx|≤1，再由极限的有界性知，f(x)在(-∞，+∞)上有界，故C正确． 问题:6. 下列积分中，收敛的是______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 利用极限审敛法． 由收敛，故A正确．问题:7. 设AX=0的任一非零解向量均可用非零3维列向量a线性表示，则k=______A.5．B.3．C.5或-3．D.3或-5．答案:D[解析] 由已知，AX=0只有一个基础解，故r(A)=2． 由于   故3-k=0或k+5—0，故D正确． 问题:8. 下列矩阵中，不能相似于对角矩阵的是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 由于  故特征值为  λ1=λ2=0，λ3=1．  对λ1=λ2=0，  故1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，所以D不能相似于对角矩阵．二、填空题问题:1. 设是f(x)的一个原函数，则f(x)在[-1，1]上的平均值为______．答案:[解析] 由已知，有  故平均值为   【注】 在x=0处间断，故不能直接利用牛顿—莱布尼兹公式．问题:2. 设f(x)为连续函数，且则对正整数n，有f(n)(0)=______．答案:(-1)n-1(n-1)!．[解析] ，两边同时对z求导，得f(x)=e-f(x)，即积分得ef(x)=x+C，即 f(x)=ln(x+C)．  由已知条件知f(0)=0，故C=1，所以  f(x)=ln(x+1)．  由ln(1+x)的泰勒展开式知  问题:3. 曲线的弧长为______．答案:[解析] 弧长为 问题:4. 设函数y=y(x)由参数方程确定，则曲线y=y(x)在t=1对应点处的曲率为______．答案:[解析] 由于  故当t=1时，   故曲率为  问题:5. 设函数z=z(x，y)由方程x=zey+z确定，则全微分dz|(e,0)=______．答案:[解析] 当x=e，y=0时，z=1． 令F(x，y，z)=zey+z-x，则   故   所以  问题:6. 二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+的正惯性指数p=______．答案:2．[解析] 二次型的矩阵则由  解得   故正惯性指数p=2． 三、解答题(满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)问题:1. 答案:解： 问题:2. 设D={(x，y)|x2+y2≤1，x2+y2≤2x，y≥0)，计算 答案:解：积分区域D如图所示．由解得交点故  【注】 对由于D关于直线对称，故 问题:3. 设f(x)在(0，+∞)内有定义，f(1)=1，当x，y∈(0，+∞)时，满足 f(xy)=yf(x)+xf(y)．  (Ⅰ