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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟222 一、选择题问题:1. 已知矩阵那么下列矩阵中  与矩阵A相似的矩阵个数为______ A.1B.2C.3D.4答案:C[解析] 二阶矩阵A有两个不同的特征值1和3，因此那么只要和矩阵Λ有相同的特征值，它就一定和Λ相似，也就一定与A相似。 ①和②分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是1和3，所以它们均与A相似，对于③和④，由   可见④与A相似，而③与A不相似。故选C。 问题:2. 设矩阵则______A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似答案:B[解析] 由|λE-A|=0可知，矩阵A的特征值为1，2，2。又因为  所以3-r(2E-A)=2，故矩阵A可相似对角化，且 由|λE-B|=0可知，矩阵B的特征值为1，2，2。又因为   所以3-r(2E-B)=1，故矩阵B不可相似对角化。  矩阵C本身就是对角矩阵，且其特征值为1，2，2，所以A与C相似，B与C不相似。  如果已知矩阵A为对角矩阵，判断其他矩阵与A是否相似，则先求出其他矩阵的特征值并判断这些矩阵是否可相似对角化。在能相似对角化的前提下，某矩阵的特征值与A相同，则其与A相似，否则，其与A不相似。 问题:3. 矩阵相似的充分必要条件为______A.a=0，b=2B.a=0，b为任意常数C.a=2，b=0D.a=2，b为任意常数答案:B[解析] 易知的特征值是2，b，0，则的特征值也应该是2，b，0。 事实上， 将a=0代入可知，A的特征值是2，b，0。因此两个矩阵相似，且与b的取值是无关的，故选B。 问题:4. 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 选项A是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。 选项B是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。  选项c是秩为1的矩阵，由|λE-A|=λ3-4λ2，可知矩阵的特征值是4，0，0。对于二重根λ=0，由秩r(0E-A)=r(A)=1可知齐次方程组(0E-A)x=0的基础解系有3-1=2个线性无关的解向量，即λ=0时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。  选项D是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，-1就是矩阵的特征值，对于二重特征值λ=1，由 可知齐次线性方程组(E-A)x=0只有3-2=1个线性无关的解向量，即λ=1时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵不能相似对角化。故选D。 问题:5. 设A是三阶矩阵，其特征值是1，3，-2，相应的特征向量依次是α1，α2，α3，若P=(α1，2α3，-α2)，则P-1AP=______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 由Aα2=3α2，有A(-α2)=3(-α2)，即当α2是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量时，-α2仍是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量。同理，2%仍是矩阵A属于特征值λ=-2的特征向量。 当P-1AP=Λ时，P由A的特征向量构成，Λ由A的特征值构成，且P中特征向量与Λ中特征值的位置是对应一致的，已知矩阵A的特征值是1，3，-2，故对角矩阵Λ应当由1，3，-2构成，因此排除选项B、C。由于2α3是属于λ=-2的特征向量，所以-2在对角矩阵Λ中应当是第二列。故选A。 问题:6. 已知α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不可能是______A.(α1，-α2，α3)B.(α1，α2+α3，α2-2α3)C.(α1，α3，α2)D.(α1+α2，α1-α2，α3)答案:D[解析] 若P=(α1，α2，α3)，则有AP=PΛ，即 (Aα1，Aα2，Aα3)=(λ1α1，λ2α2，λ3α3)，  可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=l，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。  若α是属于特征值λ的特征向量，则-α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。  若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与α的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2-2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2-2α3线性无关，故选项B正确。  对于选项C，因为α