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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟230 解答题问题:1. 证明：当x＞0时，有 答案:证明：已知cosx≤1，则 证毕． 注 本题完全可以通过求导的方法证明该不等式，上述证明反复应用了积分的保不等式性(保序性)．[考点] 一元函数微积分问题:2. 求．答案:解：设，则x=t6-1，dx=6t5dt．代入得  其中． 注 本题最后并没有还原成关于x的函数，否则，原函数的形式过于庞大，严重影响积分的颜值，读者不妨自己还原．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:3. 证明：函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是，存在x0的某个邻域U以及定义在U上且在点x0处连续的函数g(x)，使f(x)=f(x0)+g(x)(x-x0)(x∈U)．答案:证明：()设f(x)在点x0处可导，令  则  即g(x)在x=x0处连续． ()如果g(x)满足条件且在x=x0处连续，则  因此f(x)在x=x0处可导．[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ)问题:4. 讨论的敛散性．答案:解：将积分分成  对于积分由于x1-p·(xp-1e-x)→1(当x→0+时)，故当p＞0时(从而1-p＜1)积分收敛． 对于积分．由于  故对于一切p值，积分收敛． 于是，当p＞0时，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:5. 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内连续，在U°(x0)内可导，且极限存在，证明：f(x)在点x0可导，且．答案:证明：f(x)在点x0可导左右导数分别存在且相等． 任取x∈U°+(x0)，f(x)在[x，x0]上满足拉格朗日定理的条件，则存在ξ∈(x，x0)，使得   由于x＜ξ＜x0，因此当x→x0+时，有ξ→x0+，对式①两边取极限，得   同理可得   因为存在，即，再由式②③得f(x0+0)=A=f(x0-0)，从而证得． 注 本例的结论称为“导数极限定理”，读者可以记住，直接使用．[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ) 问题:6. 设A是三阶矩阵，若Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，且A的每行元素之和为a，问a为何值时，A能相似于对角矩阵?相似时，求可逆矩阵P，使得．a为何值时，A不能确定是否相似于对角矩阵，说明理由．答案:解：由A是三阶矩阵，Ax=0有通解k1ξ1+k2ξ2，知r(A)=1，ξ1，ξ2是A的对应于特征值λ=0的两个线性无关的特征向量，又A的每行元素之和为a，即  知λ=a是A的特征值，对应的特征向量为ξ3=(1，1，1)T． 当a≠0时，ξ1，ξ2，ξ3线性无关，此时A相似于对角矩阵，故存在可逆矩阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得  当a=0时，有  故ξ3是Ax=0的解向量，ξ3=k1ξ1+k2ξ2，此时，不能确定A是否相似于对角矩阵．[考点] 特征值、特征向量及二次型问题:7. 讨论的敛散性．答案:解：先考虑积分．当α＞1时，取正数a充分小，使α-a＞1．由于  故此时积分收敛．当α≤1时，由于  故此时积分发散． 再考虑积分．由于，故积分仅当α-1＜1，即当α＜2时收敛． 于是，当1＜α＜2时，积分收敛．[考点] 不定积分、定积分、反常积分问题:8. 设在点x=1处连续，试确定A，B.答案:解：由于f(x)在点x=1处连续，则． 因，解得B=-A． 故  所以A=2，B=-2．[考点] 函数、极限问题:9. 求极限．答案:解： 其中  所以[考点] 函数、极限问题:10. 设，求f(x)的间断点，并进行分类．答案:解：x=0，x=1，x=π为f(x)的间断点  由f(0-0)≠f(0+0)得x=0为第一类间断点(跳跃间断点)． 注意到当x→π-时，sinx＞0，则|sinx|=sinx=sin(π-x)=-sin(x-π)；当x→π+时，sinx＜0，则|sinx|=-sinx=-sin(π-x)=sin(x-π)． 所以  由f(π-0)≠f(π+0)得x=π为第一类间断点(跳跃间断点)． 由  得x=1为第二类间断点．[考点] 函数、极限问题:11. 设f(x)在[-a，a](a＞