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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟202 一、选择题问题:1. 设矩阵A=(aij)3×3满足A*=AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵。若a11，a12，a13为三个相等的正数，则a11为______ A． B．3  C． D． 答案:A[解析] 由A*=AT及AA*=A*A=|A|E，有aij=Aij，i，j=1，2，3，其中Aij为aij的代数余子式，且  而于是|A|=1，且 故选A。 问题:2. 设A和B都是n阶矩阵，则必有______A.|A+B|=|A|+|B|B.AB=BAC.|AB|=|BA|D.(A+B)-1=A-1+B-1答案:C[解析] 因为|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|，所以C项正确。 取B=-A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故A项错误。  由矩阵乘法不满足交换律知，B项不正确。  因(A+B)(A-1+B-1)≠E，故D项也不正确。  综上分析，故选C。 问题:3. 设A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。则 ①A是对称矩阵；  ②A2是单位矩阵；  ③A是正交矩阵；  ④A是可逆矩阵。  上述结论中，正确的个数是______ A.1B.2C.3D.4答案:D[解析] AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立。 A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。  由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩阵，③成立。  由③知正交矩阵是可逆矩阵，且A-1=AT，④成立。  故选D。 问题:4. 设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是______A.A+B是对称矩阵B.AB是对称矩阵C.A*+B*是对称矩阵D.A-2B是对称矩阵答案:B[解析] 由题设条件，则 (A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，  所以有  (A-2B)T=AT-(2BT)=A-2B，  从而A、D两项是正确的。  首先来证明(A*)T=(AT)*，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等。(A*)T在(i，j)位置的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而(A*)T=(AT)*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合A选项可知C选项是正确的。  因为(AB)T=BTAT=BA，从而B选项不正确。  故选B。  注意：当A，B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。 问题:5. 下列命题中 ①如果矩阵AB=E，则A可逆且A-1=B；  ②如果n阶矩阵A，B满足(AB)2=E，则(BA)2=E；  ③如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则A+B必不可逆；  ④如果矩阵A，B均为n阶不可逆矩阵，则AB必不可逆。  正确的是______ A.①②B.①④C.②③D.②④答案:D[解析] 如果A，B均为n阶矩阵，命题①当然正确，但是题中没有n阶矩阵这一条件，故①不正确。 例如   显然A不可逆。  若A，B为n阶矩阵，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，则可知A，B均可逆，于是ABA=B-1，从而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正确。  若设 显然A，B都不可逆，但可逆，可知③不正确。 由于A，B均为n阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A||B|=0，故AB必不可逆。因此④正确。  综上分析，故选D。 问题:6. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 ①若A可逆，则B可逆；  ②若B可逆，则A+B可逆；  ③若A+B可逆，则AB可逆；  ④A-E恒可逆。  上述命题中，正确的个数为______ A.1B.2C.3D.4答案:D[解析] 由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，则 |(A-E)B|=|A-E|×|B|-|A|≠0，  所以|B|≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。  同命题①类似