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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟198 一、选择题问题:1. 设{an}为正项数列，下列选项正确的是______ A． B． C． D． 答案:D[考点] 本题考查级数收敛性的两个判别法。[解析] 选项A：交错级数敛散性用莱布尼茨判别法：(1)an≥an+1；(2)不一定满足第二个条件，因此不能判断级数是否收敛。 选项B：莱布尼茨判别法是交错级数收敛的充分条件，但不是必要条件。如不满足an＞an+1。 选项C，但可能得出不存在，如级数当p＞1时不存在。 选项D：因为收敛，存在，所以收敛。故选D。 一是莱布尼茨判别法：它的内容是当{an}满足①an≥an+1；②收敛。二是比较判别法的极限形式：存在，且p＞1时收敛；存在且不为0，同时p≤1时发散。问题:2. 如果级数收敛，则级数______A.都收敛B.都发散C.敛散性不同D.同时收敛或同时发散答案:D[解析] 由于an=(an+bn)-bn，且收敛，当收敛时，必收敛；而当发散时，必发散，故选D。问题:3. 设a是常数，则级数______A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与a的取值有关答案:C[解析] 由于而收敛，则收敛，但发散，则发散，故选C。问题:4. 设收敛，则______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 当an＞0时，级数为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列有上界，从而可知正项级数的部分和数列Sn=a1+a2+…+an有上界，则级数必收敛，故选D。问题:5. 已知等于______A.3B.7C.8D.9答案:C[解析] 故选C。问题:6. 下列级数中发散的是______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 对于A选项，用根值判别法所以A项收敛。 对于B选项，所以根据p级数的收敛性可知B项收敛。 对于D选项，用比值判别法所以D项收敛。 对于C选项，其中是交错级数，根据莱布尼茨判别法，由于是单调递减的，且所以收敛。对于因为lnn＜n，所以是发散的，因此是发散的。故选C。问题:7. 设则______ A． B． C． D． 答案:C[解析] 是一个交错级数，而单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数收敛。  而(当n→∞)，发散，则发散，故选C。问题:8. 设幂级数的收敛半径分别为则幂级数的收敛半径为______ A．5  B． C． D． 答案:A[解析] 设极限都存在，则由题设条件可知  于是幂级数的收敛半径为  故选A。 问题:9. 设函数收敛，则k=______A.1B.2C.-1D.-2答案:C[解析] 因为因此  又收敛，故有k+1=0，即k=-1，故选C。二、填空题问题:1. 无穷级数的收敛区间为______。答案:[解析] 幂级数的系数为则  因此，幂级数的收敛半径为收敛区间为 问题:2. 设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为______。答案:(-2，4)[解析] 根据幂级数的性质，对原幂级数逐项求导后，得其收敛半径不变，因此有  其收敛区间为|x-1|＜3，即(-2，4)。 问题:3. 已知幂级数在x=0处收敛，在x=-4处发散，则幂级数的收敛域为______。答案:(1，5][解析] 由题意可知，的收敛域为(-4，0]，则的收敛域为(-2，2]。所以的收敛域为(1，5]。问题:4. 已知幂级数在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为______。答案:1[解析] 题干已知幂级数在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为1，因此幂级数收敛半径也为1。问题:5. 级数的和为______。答案:[解析] 由麦克劳林公式易知则 问题:6. 级数的和为______。答案:[解析] 令那么有  则 幂级数求和与幂级数展开所需考点类似，也是常见函数的幂级数展开公式以及逐项求导和逐项积分定理。基本思路也类似，即先通过逐项求导或逐项积分将幂级数变成能直接应用常见函数展开公式的形式，求出和函数，再将前面求导或求积分的过程作逆运算，从而得到原幂级数的和函数。 问题:7. 在x=-1处的泰勒展开式为______。答案:[解析] 问题:8. 将函数展成x的幂级数为______。答案:[解析]