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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟554 一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.问题:1. 设A是n阶矩阵，则|A|=0的必要条件是______．A.A中必有一行(或一列)元素全为零B.A中必有两行元素成比例C.A中必有一行是其余各行的线性组合D.A是零矩阵答案:C[考点] 行列式 [解析] 选项A，B，D均为充分条件，非必要条件．取，则可排除A，D；取，排除B． 事实上，|A|=0说明组成A的行(列)向量中至少有一个行(列)向量可以由其余行(列)向量线性表出，即选项C正确．问题:2. 设是可逆矩阵，是A的伴随矩阵A*的一个特征向量，则______．A.a=-4，b=-3B.a=1，b=-3C.a=-4，b=3D.a=1，b=2答案:B[考点] 特征值、特征向量及二次型 [解析] 设矩阵A*对应于特征值λ的特征向量为ξ，则 A*ξ=λξ ① 由于矩阵A可逆，所以|A|≠0，|A*|=|A|2≠0，于是λ≠0，式①两边左乘A，得AA*ξ=λAξ，即  亦即  从而  由此得  解得a=-4，b=2；a=1，b=-3．应选B．问题:3. 已知二次型的秩为2，则______A.a=1B.a=2C.a=3D.a=4答案:B[考点] 二次型 [解析] f(x1，x2，x3)=xTAx，其中，对矩阵A实施初等行变换，有  由于二次型f的秩为2，知r(A)=2，且，所以4-a2=0，a=±2，取a=2．应选B．问题:4. 设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，，则f(x)在x=0处______．A.可导，且f(0)=0B.可导，且f(0)=-1C.可导，且f(0)=1D.不可导答案:B[考点] 连续、导数、微分(Ⅰ) [解析] 而，所以，故选B．问题:5. 设A，B为三阶矩阵，且特征值均为-2，1，1，以下命题： (1)A相似于B；  (2)A，B合同；  (3)A，B等价；  (4)|A|=|B|中正确的命题个数为______． A.1B.2C.3D.4答案:B[考点] 特征值、特征向量及二次型 [解析] 命题(1)(2)错误．取  考虑方程组(1E-B)x=0，由于  的秩为2，所以(1E-B)x=0的基础解系中所含向量的个数为1，而λ=1为B的二重特征根，故此时B不可对角化．显然A可对角化(它本身已是对角阵)，故A不相似于B； 注意到B不是对称阵，所以A不合同于B． 命题(3)(4)正确．因为A，B的特征值为-2，1，1，所以|A|=|B|=-2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价．所以，选B．问题:6. 设A为三阶矩阵，方程组Ax=0的基础解系为α1，α2，又λ=-2为A的一个特征值，其对应的特征向量为α3，下列向量属于A的特征向量的是______．A.α1+α3B.3α3-α1C.α1+2α2+3α3D.2α1-3α2答案:D[考点] 特征值与特征向量 [解析] 选项A错误．由于Ax=0的基础解系为α1，α2，显然Ax=0有非零解，0为二重特征值且r(A)＜3． 若α1+α3为属于特征值λ0的特征向量，则有 A(α1+α3)=λ0(α1+α3) 注意到 A(α1+α3)=Aα1+Aα3=0-2α3=-2α3 故 -2α3=λ0(α1+α3)或λ0α1+(λ0+2)α3=0 又因α1，α3线性无关，所以λ0=0，λ0+2=0矛盾，故α1+α3不是特征向量； 同理可得选项B，C错误． 显然2α1-3α2为特征值0对应的特征向量，故选D．问题:7. A，B是n阶方阵且A相似于B，则______．A.A，B的特征矩阵相同B.A，B的特征方程相同C.A，B相似于同一个对角矩阵D.存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=B答案:B[考点] 特征值、特征向量及二次型 [解析] A相似于B，即存在可逆矩阵P，使P-1AP=B，则 |λE-B|=|λE-P-1AP|=|λP-1EP-P-1AP|=|P-1||λE-A||P|=|λE-A| 故A，B有相同的特征方程．应选B．问题:8. 设A是三阶矩阵，将A的第1列和第2列互换后得到B，再将B的第2列加到第3列得到C，则