8.1.1第二课时向量的投影与向量数量积的几何意义2019(秋)数学必修第三册人教b版改题型.pdfVIP

第二课时 向量的投影与向量数量积的几何意义 课标要求 素养要求 1.掌握数量的定义，理解平面向量数量 通过学习平面向量数量积的几何意义及 积的几何意义 . 投影，重点培养学生的数学抽象和数学 2.理解投影的概念 运算素养 . 教材知识探究 水上飞机是用绳索拉着人进行的水上运动， 会让人感觉自己在水上漂动， 异常轻 松刺激．要用物理原理来分析的话， 这说明飞机的拉力对人做了功． 这种现象在 现实生活中还有很多， 在数学中两个向量也有类似的运算应用． 那么它们遵循什 么规律呢？请看本节学习的内容． 问题 1.功与向量的数量积有什么联系？ 2 ．数量积的几何意义是什么？ 提示 1.物理上力做功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积， 它 的实质是向量的数量积． 2 ．两个非零向量 a 与 b 的数量积，等于向量 a 的长度 |a|与 b 在 a 方向上的投影 |b| cos· θ的乘积． 1．投影的概念 → (1)如图所示，设非零向量 AB＝a，过 A ，B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为 A ′， → 为向量 a 在直线 l 上的投影向量或投影． B ′，则称向量 A ′B ′ 类似地， 给定平面上的一个非零向量 b，设 b 所在的直线为 l ，则 a 在直线 l 上的 → 投影称为 a 在向量 b 上的投影．如图中，向量 a 在向量 b 上的投影为 A ′B′.可以 看出，一个向量在一个非零向量上的投影， 一定与这个非零向量共线， 但它们的 方向既有可能相同，也有可能相反． (2)如图 (1)(2)(3)所示． π → ①当〈 a，b〉＜ 时，A ′B ′的方向与 b 的方向相同，而且 2 → |A ′B′|＝|a|cos 〈a，b〉； π → → ②当〈 a，b〉＝ 时，A ′B ′为零向量，即 |A ′B ′ 2 |＝0； π → ③当〈 a，b〉＞ 时，A ′B ′的方向与 b 的方向相反，而且 2 → |A ′B′|＝－ |a|cos 〈a，b〉． 2 ．数量积的几何意义 一般地，如果 a，b 都是非零向量，则称 |a|cos 〈a，b〉为向量 a 在向量 b 上的投 影的数量． 投影的数量与投影的长度有关， 但是投影的数量既可能是非负数， 也 可能是负数． 因为 a ·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝ |a|cos 〈a，b〉|b|， 所以两个非零向量 a，b 的数量积 a ·b，等于 a 在向量 b 上的投影的数量与 b 的模 的乘积．这就是两个向量数量积的几何意义． 特别地，当 e 为单位向量时，因为 |e|＝1，所以 a e·＝|a|cos 〈a