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高中数学学业水平考知识点总结 高中数学学业水平考知识点总结 1 一些基本概念： 向量：既有大小，又有方向的量 . 数量：只有大小，没有方向的量 . 有向线段的三要素：起点、方向、长度 . 零向量：长度为 0 的向量 . 单位向量：长度等于 1 个单位的向量 . 平行向量 ( 共线向量 ) ：方向相同或相反的非零向量 . ※零向量与任一向量平行 . (7) 相等向量：长度相等且方向相同的向量 . 向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连 . ⑵平行四边形法则的 特点：共起点 高中数学学业水平考知识点总结 2 求函数的单调性 ： 利用导数求函数单调性的基本方法：设函数 yf （x）在区间 a，b）内可导，（ 1）如果恒 f （ x）0，则函数 yf （x）在区间 a，b）上为增函数；（ 2）如果恒 f （x）0，则函数 yf （x）在区间（ a，b）上为减函数； （3）如果恒 f （x）0，则函数 yf （x）在区间（ a，b）上为常数函数 . 利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数 yf （x）的定 义域；②求导数 f （x）；③解不等式 f （x）0，解集在定义域内 的不间断区间为增区间；④解不等式 f （x）0，解集在定义域内 的不间断区间为减区间 . 反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题 （如确定参数的取值范围）：设函数 yf （ x）在区间（ a，b）内可导， （1）如果函数 yf （ x）在区间（ a，b）上为增函数，则 f （x）0（其中使 f （x）0 的 x 值不构成区间）； （2）如果函数 yf （ x）在区间（ a，b）上为减函数，则 f （x）0（其中使 f （x）0 的 x 值不构成区间）； （3）如果函数 yf （ x）在区间（ a，b）上为常数函数，则 f （x）0 恒成立 . 求函数的极值： 设函数 yf （x）在 x0 及其附近有定义，如果对 x0 附近的所 有的点都有 f （x）f （x0）（或 f （ x）f （x0）），则称 f （x0）是函数 f （x）的极小值（或极大值） . 可导函数的极值， 可通过研究函数的单调性求得， 基本步骤 是： 1）确定函数 f （x）的定义域； （2）求导数 f （x）；（3）求方程 f （ x）0 的全部实根， x1x2xn ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表： x 变化时， f （x）和 f （ x）值的变化情况： （4）检查 f （x）的符号并由表格判断极值 . 求函数的值与最小值： 如果函数 f （ x）在定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 xI ， 总有 f （x）f （x0），则称 f （x0）为函数在定义域上的值 . 函数 在定义域内的极值不一定，但在定义域内的最值是的 . 求函数 f （x）在区间 [a ， b] 上的值和最小值的步骤：（ 1） 求 f （x）在区间（ a，b）上的极值； （2）将第一步中求得的极值与 f （a）， f （ b）比较，得到 f （x）在区间 [a ，b] 上的值与最小值 . 解决不等式的有关问题： （1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域 . f （x）（ xA）的值域是 [a ，b] 时， 不等式 f （x）0 恒成立的充要条件是 f （x） max0，即 b0； 不等式 f （x）0 恒成立的充要条件是 f （x） min0，即 a0. f （x）（ xA）的值域是（ a， b）时， 不等式 f （x）0 恒成立的充要条件是 b0；不等式 f （x） 0 恒成立的充要条件是 a0. （2）证明不等式 f （x） 0 可转化为证明 f （ x）max0，或利用函数 f （x）的单调性，转化为证明 f （ x）f （x0）0. 导数在实际生活中的应用： 实际生活求解（小）值问题，通常都可转化为函数的最值 . 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点的单峰函数， 极值点就是最值点，在解题时要加以说明 . 高中数学学业水平考知识点总结 3 有界性 设函数 f （x）在区间 X 上有定义，如果存在 M0，对于一切属于区间 X 上的 x，恒有 |f （x）| ≤M，则称 f （x）在区间 X 上有界，否则称 f （ x）在区间上无界 . 单调性 设函数 f （x）的定义域为 D，区间 I 包含于 D.如果对于区 间上任意两点 x1 I 上是单调递减的  及 x2，当 x1f （ x2），则称函数 f （x）在区间 . 单调递增和单调递减的函数统称为单调函数 . 奇偶性 设为一个实变量实值函数，若有 （x）为奇函数 .  f （— x）=—f  （x），则  f 几何上，一个奇函数关于原点对称， 亦即其图像在绕原点做 180 度旋转后不会改变