高中数学1.6微积分基本定理学案新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案.pdfVIP

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2021-11-27 发布于山东
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高中数学1.6微积分基本定理学案新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案.pdf

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1．6 微积分基本定理 1．通过实例，了解微积分基本定理的含义． 2．理解并记住牛顿——莱布尼兹公式，即微积分基本定理． 3．会逆用求导公式求原函数 ( ) ，再求定积分． F x 基础梳理 1．微积分基本定理：如果函数 ( ) 是区间 [ ， ] 上的连续函数，并且 ′( ) ＝ ( ) ， f x a b F x f x a 那么 f ( x)d x ＝F( b) －F( a) ． b 定理中的式子称为牛顿—莱布尼茨公式，通常称 F( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数．在计算定 b 积分时，常常用记号 F(x )| a 来表示 F( b) － F( a) ，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作 a b f ( x )d x ＝F( x)| a ＝F( b) －F( a) ． b 想一想：被积函数 f ( x ) 的原函数 F( x ) 唯一吗？解析：不唯一．因为当 ′( ) ＝ ( ) 时， [ ( ) ＋ ] ′＝ ( )( 为常数 ) ，所以 ( ) ＋ F x f x F x C f x C F x a C也是 f ( x) 的一个原函数．实际上， f ( x )d x ＝[ F( b) ＋C] －[ F( a) ＋C] ＝F( b) －F( a) ． b 2．定积分和曲边梯形面积的关系．设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S下，则： a (1) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图 1，则 f ( x)d x ＝S 上． b a (2) 当曲边梯形的面积在 x 轴下方时，如图 2 ，则 f ( x)d x ＝S 下． b a (3) 当曲边梯形的面积在 x 轴上方、 x 轴下方均存在时，如图 3，则 f ( x )d x ＝S 上－S b a 下，若 S 上＝S 下，则 f ( x)d x ＝0 ． b 2 想一想： (1 ＋cos x)d x ＝________ ． 2 解析：因为 ( x ＋sin x ) ′＝ 1＋cos x ， 2 2 所以 (1 ＋cos x )d x ＝( x ＋sin x ) ＝π＋ 2.