大学数学微积分课件：第03讲 第二节、数列的极限 第三节、函数的极限.pptVIP

* * 左极限 右极限 左邻域 右邻域 * * 左右极限存在但不相等, 例4 证 * * 播放 二、自变量趋向无穷大时函数的极限 * * 通过上面演示实验的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. * * * * 2.另两种情形: * * 3.从图形上看: * * 例5 证 * * 三、函数极限的性质 2.有界性 1.唯一性 * * 定理3(保号性) 推论1 3.保号性质 * * 推论3 推论2 以上2个推论称为保序性，只要将函数f(x)-g(x)代入定理3即可得到． 下面，我们就 A0来证明定理3． * * 定理3(保号性) * * 4.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系) 定义 定理4 * * 证 * * 例6 证 * * 二者不相等, 子列收敛定理可用于说明一个函数极限不存在！ * * * * 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * 第三讲 内容 第二节、数列的极限 第三节、函数的极限 * * 第二节、数列的极限 * * “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 1、割圆术： 播放 ——刘徽 一、数列极限的定义 * * 正六边形的面积 正十二边形的面积 正 形的面积 * * 2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” * * 例如 定义 : 按自然数 L , 3 , 2 , 1 编号依次排列的一列数 L L , , , , 2 1 n x x x 称为无穷数列 , 简称数列 . 其中的每个数称为数 列的 项 , n x 称为通项 ( 一般项 ). 数列 记为 } { n x . * * 注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 2.数列是整数函数 * * 播放 数列的极限 * * 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过上面演示实验的观察: * * * * 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： * * 几何解释: 其中 * * 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： * * 例2 证 所以, 说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N. * * 例3 证 * * 例4 证 * * 1.唯一性 定理1 收敛数列的极限唯一. 证 由定义, 故收敛数列极限唯一. 二、数列极限的性质 * * 2.有界性 例如, 有界 无界 * * 定理2 收敛的数列必定有界. 证 由定义, 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论 无界数列必定发散. * * 证 则由定义, 注：同理可证a0时存在N0,使得:nN 时总有xn 0 推论：如果从某个N起xn≥0则： 定理3(收敛数列保号) 则存在 N0,使得:nN 时总有xn 0. * * 注：如果数列的2个子列极限不同，由定理4断定 该数列不收敛． 定理4(子列收敛定理) 则它的任一子 数列也收敛于a. 在一个数列{xn}中任意抽取无限多项并保持它 们原来的次序，即构成该数列的一个子数列． * * 例5 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. * * 数列极限的小结 数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想,精确定义,几何意义; 收敛数列的性质:有界性、唯一性、保号 性、子列收敛定理. * * 第三节、函数极限 课件制作：汪光先 戴中寅 徐聪敏 * * 一、自变量趋向有限值时函数的极限 * * * * 3.图形上看: 注： * * 例1 证 例2 证 * * 例2 证 函数在点x=1处没有定义. * * 例3 证 * * 2.单侧极限: 苏州大学数学科学学院大学数学部 * * * * *